Найти общее решение данного уравнения, то есть функцию y(x)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка)

Нам задано дифференциальное уравнение:

y'' = \ln x

Это уравнение второго порядка. Задача — найти общее решение данного уравнения, то есть функцию y(x).

Шаг 1: Интегрируем правую часть уравнения

Поскольку y'' = \ln x, то мы можем найти y', проинтегрировав правую часть:

 y' = \int \ln x \, dx 

Для интегрирования \int \ln x \, dx используем интегрирование по частям:

Пусть:

• u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx
• dv = dx \Rightarrow v = x

Тогда по формуле интегрирования по частям:

 \int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C_1 

Итак,

 y' = x \ln x - x + C_1 

Шаг 2: Интегрируем еще раз, чтобы найти y

 y = \int (x \ln x - x + C_1) dx 

Разделим интеграл на части:

 y = \int x \ln x \, dx - \int x \, dx + \int C_1 \, dx 

Рассчитаем каждый из них:

1. \int x \ln x \, dx — снова интегрирование по частям:

Пусть:

• u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx
• dv = x dx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2}

Тогда:

 \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} 

2. \int x \, dx = \frac{x^2}{2}

3. \int C_1 \, dx = C_1 x

Объединяя всё:

 y = \left( \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right) - \frac{x^2}{2} + C_1 x + C_2 

Упростим:

 y = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} - \frac{x^2}{2} + C_1 x + C_2 

 y = \frac{x^2}{2} \ln x - \left( \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{2} \right) + C_1 x + C_2 

 y = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{3x^2}{4} + C_1 x + C_2 

Ответ:

Общее решение уравнения y'' = \ln x:

 y(x) = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{3x^2}{4} + C_1 x + C_2 

где C_1 и C_2 — произвольные постоянные интегрирования.