Найти общее решение данного дифференциального уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка)

Задание: Найти общее решение данного дифференциального уравнения:

На изображении записано уравнение:

0 = (x y + x) y' + x y + x

Обозначим y' = \frac{dy}{dx}. Тогда уравнение примет вид:

(x y + x) \frac{dy}{dx} + x y + x = 0

Вынесем общий множитель в скобках:

x(y + 1) \frac{dy}{dx} + x(y + 1) = 0

Теперь снова вынесем общий множитель:

x(y + 1) \left( \frac{dy}{dx} + 1 \right) = 0

Это произведение равно нулю, значит, возможны два случая:

Случай 1:

x(y + 1) = 0

Тогда либо x = 0, либо y = -1.

• x = 0 — это не функция, а вертикальная прямая, не является решением дифференциального уравнения в классическом смысле.
• y = -1 — это функция, и подставляя в уравнение, получаем:

(x \cdot (-1) + x) \cdot 0 + x \cdot (-1) + x = 0

(-x + x) \cdot 0 + (-x + x) = 0

0 + 0 = 0 — верно.

Значит, y = -1 — частное решение уравнения.

Случай 2:

\frac{dy}{dx} + 1 = 0
То есть:

\frac{dy}{dx} = -1

Решим это уравнение:

\int dy = \int -1 \, dx

y = -x + C

Ответ:

Общее решение уравнения:

y = -x + C

Частное решение:
y = -1

Итоговый ответ (включая все решения):

y = -x + C и y = -1