Найти общее решение

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано уравнение:
y^2 \cdot y' = 1 - x^2

Требуется найти общее решение.

Решение:

1. Перепишем уравнение в явном виде:
   y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 1 - x^2.

2. Преобразуем уравнение, чтобы разделить переменные:
   y^2 \, dy = (1 - x^2) \, dx.

3. Интегрируем обе части:

   Слева:
   \int y^2 \, dy = \frac{y^3}{3} + C_1,
   где C_1 — произвольная константа интегрирования.

   Справа:
   \int (1 - x^2) \, dx = \int 1 \, dx - \int x^2 \, dx = x - \frac{x^3}{3} + C_2,
   где C_2 — произвольная константа интегрирования.

4. Объединяем результаты:
   \frac{y^3}{3} = x - \frac{x^3}{3} + C,
   где C = C_2 - C_1 — новая произвольная константа.

5. Умножим обе части на 3 для упрощения:
   y^3 = 3x - x^3 + 3C.

6. Выразим y:
   y = \sqrt[3]{3x - x^3 + 3C}.

Ответ:

Общее решение уравнения:
y = \sqrt[3]{3x - x^3 + 3C},
где C — произвольная константа.