Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде (х,у)=с.)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в дифференциальной форме)

Дано уравнение:

6x\,dx - 2y\,dy = 2yx^2\,dy - 3xy^2\,dx

Перенесем всё в одну сторону:

6x\,dx - 2y\,dy - 2yx^2\,dy + 3xy^2\,dx = 0

Сгруппируем по дифференциалам:

(6x + 3xy^2)\,dx + (-2y - 2yx^2)\,dy = 0

Вынесем общий множитель:

3x(2 + y^2)\,dx - 2y(1 + x^2)\,dy = 0

Теперь у нас уравнение в дифференциальной форме:

M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0, где

M(x, y) = 3x(2 + y^2),
N(x, y) = -2y(1 + x^2)

Проверим, является ли уравнение полным дифференциалом. Для этого найдём частные производные:

 \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}[3x(2 + y^2)] = 3x \cdot 2y = 6xy 

 \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}[-2y(1 + x^2)] = -2y \cdot 2x = -4xy 

Так как \frac{\partial M}{\partial y} \ne \frac{\partial N}{\partial x}, уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Попробуем найти интегрирующий множитель. Заметим, что если разделить обе части на xy, то получим:

 \frac{3x(2 + y^2)}{xy}\,dx - \frac{2y(1 + x^2)}{xy}\,dy = 0 

Упростим:

 3\left(\frac{2 + y^2}{y}\right)\,dx - 2\left(\frac{1 + x^2}{x}\right)\,dy = 0 

Теперь это уравнение можно разделить:

 \frac{3(2 + y^2)}{y}\,dx = \frac{2(1 + x^2)}{x}\,dy 

Или:

 \frac{3(2 + y^2)}{y}\,dx - \frac{2(1 + x^2)}{x}\,dy = 0 

Теперь можно интегрировать по переменным раздельно.

Интегрируем левую часть:

 \int \frac{3(2 + y^2)}{y}\,dy = \int 3\left(\frac{2}{y} + y\right)\,dy = 3\int \left(\frac{2}{y} + y\right)\,dy = 3(2\ln|y| + \frac{y^2}{2}) 

 = 6\ln|y| + \frac{3}{2}y^2 

Интегрируем правую часть:

 \int \frac{2(1 + x^2)}{x}\,dx = \int 2\left(\frac{1}{x} + x\right)\,dx = 2\int \left(\frac{1}{x} + x\right)\,dx = 2(\ln|x| + \frac{x^2}{2}) 

 = 2\ln|x| + x^2 

Теперь приравниваем интегралы:

 6\ln|y| + \frac{3}{2}y^2 = 2\ln|x| + x^2 + C 

Переносим всё в одну сторону:

 6\ln|y| - 2\ln|x| + \frac{3}{2}y^2 - x^2 = C 

Это и есть общий интеграл. Ответ можно записать в виде:

 F(x, y) = 6\ln|y| - 2\ln|x| + \frac{3}{2}y^2 - x^2 = C 

Или в виде:

 (x, y) = C 

✅ Ответ:
 6\ln|y| - 2\ln|x| + \frac{3}{2}y^2 - x^2 = C