Найти общий интеграл дифференциального уравнения через y

Предмет: Математика

Раздел предмета: Дифференциальные уравнения

Задача: Найти общий интеграл дифференциального уравнения \( x y' = 2\sqrt{x^2 + y^2} + y \), используя подстановку \( y = U(x) \cdot V(x) \), где \( y' = U'(x) \cdot V(x) + U(x) \cdot V'(x) \).

Шаг 1: Сначала рассмотрим исходное уравнение

\[ x y' = 2\sqrt{x^2 + y^2} + y. \]

Шаг 2: Подстановка \( y = U(x) \cdot V(x) \)

Рассмотрим подстановку \( y = U(x) \cdot V(x) \). Подставим её производную в уравнение:

1. \( y = U(x) \cdot V(x) \).
2. Производная \( y' = U'(x) \cdot V(x) + U(x) \cdot V'(x) \).

Шаг 3: Упрощение исходного уравнения

Теперь подставим \( y = U(x) \cdot V(x) \) и выражение для \( y' \) в исходное уравнение:

\[ x(U'(x) \cdot V(x) + U(x) \cdot V'(x)) = 2\sqrt{x^2 + (U(x) \cdot V(x))^2} + U(x) \cdot V(x). \]

Следующее упрощение будет зависеть от понимания связи между \( U(x) \) и \( V(x) \). В качестве общего метода также может подойти замена на специальные функции, например, разделение переменных.

Шаг 4: Пробуем воспользоваться методом замены переменных

Заключение: Для более полного решения, необходимо подробнее проанализировать функции \( U(x) \) и \( V(x) \). По виду уравнения основной подход будет сводиться к методу подстановок и интегрирования.

Пусть мы представим задание в системе разделённых переменных и пробуем найти функцию для интегрирования.