Найти общий интеграл дифференцальнрго уравнения

Определение предмета и раздела

Это задание относится к предмету математика, а именно к ее разделу — дифференциальные уравнения. Нам необходимо найти общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Задано:

Дифференциальное уравнение:

[ (2x + e^{\frac{x}{y}})dx + e^{\frac{x}{y}}\left(1 - \frac{x}{y}\right)dy = 0 ]

Шаг 1: Проверка на наличие уравнения в частных производных 1-го порядка

Мы видим, что это уравнение может быть записано в форме:

[ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, ]

где:

[ M(x, y) = 2x + e^{\frac{x}{y}}, ] [ N(x, y) = e^{\frac{x}{y}}\left(1 - \frac{x}{y}\right). ]

Шаг 2: Проверка условие полного дифференциала

Для того чтобы это уравнение можно было решить как уравнение точное, необходимо проверить условие точности:

[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}. ]

Посчитаем частные производные.

2.1: Найдем \( \frac{\partial M}{\partial y} \)

М:

[ M(x, y) = 2x + e^{\frac{x}{y}}. ]

Частная производная по \(y\):

[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(2x + e^{\frac{x}{y}}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{\frac{x}{y}}\right) = e^{\frac{x}{y}} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}}. ]

2.2: Найдем \( \frac{\partial N}{\partial x} \)

Н:

[ N(x, y) = e^{\frac{x}{y}}\left(1 - \frac{x}{y}\right). ]

Частная производная по \(x\):

[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left( e^{\frac{x}{y}}\left(1 - \frac{x}{y}\right) \right). ]

Используем произведение:

[ \frac{\partial}{\partial x}\left( e^{\frac{x}{y}} \cdot \left(1 - \frac{x}{y}\right) \right) = e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(1 - \frac{x}{y}\right) + \left(1 - \frac{x}{y}\right) \frac{\partial}{\partial x}\left( e^{\frac{x}{y}} \right). ]

Первое слагаемое:

[ \frac{\partial}{\partial x}\left(1 - \frac{x}{y}\right) = -\frac{1}{y}, ]

значит:

[ e^{\frac{x}{y}} \cdot \left(-\frac{1}{y}\right) = - \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}}. ]

Второе слагаемое:

[ \frac{\partial}{\partial x}\left( e^{\frac{x}{y}} \right) = e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{y}. ]

Следовательно, второе слагаемое:

[ \left(1 - \frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} = \frac{1}{y} \left(1 - \frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}}. ]

Итак, частная производная \(N\) по \(x\):

[ \frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} + \frac{1}{y} \left(1 - \frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}}. ]

Упростим:

[ \frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} + \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} - \frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}}. ]

Заметим, что \( - \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} + \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} = 0\), поэтому:

[ \frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}}. ]

Шаг 3: Сравнение частных производных

Теперь сравним \( \frac{\partial M}{\partial y} \) и \( \frac{\partial N}{\partial x} \):

[ \frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}}, ] [ \frac{\partial N}{\partial x} = -\frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}}. ]

Частные производные совпали, значит, уравнение точное.

Шаг 4: Нахождение общего интеграла

Так как уравнение точное, общий интеграл можно найти следующим образом:

[ \int M(x, y)\, dx + \int \left[ N(x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \int M(x, y)\,dx \right] dy = C. ]

Интегрируем \(M(x, y)\) по \(x\):

[ M(x, y) = 2x + e^{\frac{x}{y}}. ]

Интеграл:

[ \int \left(2x + e^{\frac{x}{y}}\right) dx = x^2 + y e^{\frac{x}{y}} + f(y), ]

где \(f(y)\) — функция только от \(y\).

Теперь найдем производную по \(y\):

[ \frac{\partial}{\partial y} \left( x^2 + y e^{\frac{x}{y}} + f(y) \right) = e^{\frac{x}{y}} \left(1 - \frac{x}{y}\right) + f'(y). ]

Сравниваем с \(N(x, y)\):

[ N(x, y) = e^{\frac{x}{y}} \left(1 - \frac{x}{y}\right). ]

Таким образом, \(f'(y) = 0\), значит, \(f(y)\) — это константа. Пусть \(f(y) = C\).

Ответ:

Общий интеграл дифференциального уравнения:

[ x^2 + y e^{\frac{x}{y}} = C, ]

где \(C\) — произвольная константа.