Найти общее решение уравнения: y^2*y’=1-x^2

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано уравнение:

y^2 \cdot y' = 1 - x^2,

где y' = \frac{dy}{dx}.

Это дифференциальное уравнение первого порядка. Найдем его общее решение.

Шаг 1. Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение в явном виде:
y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 1 - x^2.

Разделим обе стороны на y^2 (при условии, что y \neq 0):
\frac{dy}{y^2} = \frac{1 - x^2}{1} \, dx.

Шаг 2. Интегрируем обе части

Интегрируем левую и правую части уравнения:
\int \frac{1}{y^2} \, dy = \int (1 - x^2) \, dx.

Левая часть:

\int \frac{1}{y^2} \, dy = \int y^{-2} \, dy = -\frac{1}{y} + C_1,
где C_1 — произвольная постоянная.

Правая часть:

\int (1 - x^2) \, dx = \int 1 \, dx - \int x^2 \, dx = x - \frac{x^3}{3} + C_2,
где C_2 — произвольная постоянная.

Шаг 3. Объединяем результаты

Объединяем результаты интегрирования:
-\frac{1}{y} = x - \frac{x^3}{3} + C,
где C = C_2 - C_1 — новая произвольная постоянная.

Умножим обе стороны на -1:
\frac{1}{y} = -x + \frac{x^3}{3} - C.

Шаг 4. Выражаем y

Возьмем обратную величину, чтобы выразить y:
y = \frac{1}{-x + \frac{x^3}{3} - C}.

Ответ:

Общее решение дифференциального уравнения:
y = \frac{1}{-x + \frac{x^3}{3} - C},
где C — произвольная постоянная.