Найти общее решение системы уравнений

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Дана система линейных дифференциальных уравнений:

 \begin{cases} x' = 2x + 3y, \ y' = 4y + x. \end{cases} 

Решим эту систему методом собственных значений и собственных векторов.

1. Запишем систему в матричном виде:

Обозначим
 \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} 
и матрицу коэффициентов
 A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 4 \end{bmatrix}. 

Тогда система принимает вид:
 \mathbf{X}' = A \mathbf{X}. 

2. Найдём собственные значения матрицы ( A )

Они находятся из уравнения
 \det(A - \lambda I) = 0. 

Вычислим определитель:
 \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 3 \ 1 & 4 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)(4 - \lambda) - 3 \cdot 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 5 = 0. 

Решая квадратное уравнение:
 \lambda^2 - 6\lambda + 5 = 0, 
находим корни:
 \lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 1. 

3. Найдём собственные векторы

Для ( \lambda_1 = 5 ) решаем систему:
 (A - 5I) \mathbf{v} = 0. 

 \begin{bmatrix} -3 & 3 \ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}. 

Равенство первой строки даёт ( -3v_1 + 3v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = v_2 ).
Выбираем ( v_1 = 1 ), тогда ( v_2 = 1 ).
Собственный вектор:
 \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}. 

Для ( \lambda_2 = 1 ) решаем:
 (A - I) \mathbf{v} = 0. 

 \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}. 

Из первой строки: ( v_1 + 3v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = -3v_2 ).
Выбираем ( v_2 = 1 ), тогда ( v_1 = -3 ).
Собственный вектор:
 \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -3 \ 1 \end{bmatrix}. 

4. Записываем общее решение

Общее решение имеет вид:
 \mathbf{X} = C_1 e^{5t} \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} + C_2 e^{t} \begin{bmatrix} -3 \ 1 \end{bmatrix}. 

То есть:
 x = C_1 e^{5t} - 3C_2 e^t, 
 y = C_1 e^{5t} + C_2 e^t. 

Где ( C_1 ) и ( C_2 ) — произвольные константы.

Ответ:

Общее решение системы:
 \begin{cases} x = C_1 e^{5t} - 3C_2 e^t, \ y = C_1 e^{5t} + C_2 e^t. \end{cases}