Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью характеристического уравнения

Это задание по предмету "Дифференциальные уравнения", раздел "Системы линейных дифференциальных уравнений".

Давайте решим систему линейных дифференциальных уравнений (*): \begin{cases} x' = -5x - 4y, \\ y' = -2x - 3y. \end{cases}

Для решения этой системы методами линейной алгебры, найдем общее решение, используя характеристическое уравнение. Процесс решения будет следующим:

1. Запись системы в матричной форме: Систему (*) можно записать как систему первого порядка в матричной форме: \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.
2. Обозначим вектор функции через \mathbf{X}: \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{X}' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}.
3. Итак, у нас теперь: \mathbf{X}' = A \mathbf{X}, где A = \begin{pmatrix} -5 & -4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}.
4. Найдем собственные значения матрицы A: Характеристическое уравнение матрицы A имеет вид: \det(A - \lambda I) = 0, где I — единичная матрица, а \lambda — собственные значения.
5. Запишем матрицу \lambda I: A - \lambda I = \begin{pmatrix} -5 - \lambda & -4 \\ -2 & -3 - \lambda \end{pmatrix}.
6. Теперь найдем детерминант этой матрицы: \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -5 - \lambda & -4 \\ -2 & -3 - \lambda \end{vmatrix} = (-5 - \lambda)(-3 - \lambda) - (-4)(-2).
7. Упрощаем выражение: (-5 - \lambda)(-3 - \lambda) - 8 = \lambda^2 + 8\lambda + 15 - 8 = \lambda^2 + 8\lambda + 7.
8. Решим характеристическое уравнение: \lambda^2 + 8\lambda + 7 = 0. Для этого найдем корни квадратного уравнения: \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1, b = 8, c = 7.
9. Подставим эти значения: \lambda = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-8 \pm 6}{2}.
10. Мы получаем два корня: \lambda_1 = \frac{-8 + 6}{2} = -1, \quad \lambda_2 = \frac{-8 - 6}{2} = -7.
11. Найденные собственные значения: \lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 = -7.
12. Поиск собственных векторов: Для каждого собственного значения найдем соответствующий собственный вектор. Для \lambda_1 = -1: (A - \lambda_1 I) \mathbf{v} = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -5 + 1 & -4 \\ -2 & -3 + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0.
13. Решаем полученную систему: -4v_1 - 4v_2 = 0, \quad -2v_1 - 2v_2 = 0. Получаем v_1 + v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = -v_2. Собственный вектор для \lambda_1 = -1: \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
14. Для \lambda_2 = -7: (A - \lambda_2 I) \mathbf{v} = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -5 + 7 & -4 \\ -2 & -3 + 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0.
15. Решаем систему: 2v_1 - 4v_2 = 0, \quad -2v_1 + 4v_2 = 0. Получаем v_1 = 2v_2. Собственный вектор для \lambda_2 = -7: \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}.
16. Общее решение системы: Общее решение будет линейной комбинацией решений вида \mathbf{X}(t) = e^{\lambda t} \mathbf{v}: \mathbf{X}(t) = C_1 e^{-t} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + C_2 e^{-7t} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}.
17. Таким образом, общее решение системы: \begin{cases} x(t) = C_1 e^{-t} + 2C_2 e^{-7t}, \\ y(t) = -C_1 e^{-t} + C_2 e^{-7t}. \end{cases} где C_1 и C_2 — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.