Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Это задание относится к предмету "Математика", а точнее к разделу "Дифференциальные уравнения".

Здесь представлено неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием \( y(1) = 1 \). Данное дифференциальное уравнение имеет вид: \[(x^2 - 4)y' + 2xy^2 = 0 \]

Чтобы найти общее решение уравнения, давайте сначала приведем его к виду, из которого можно будет получить разделяющиеся переменные: \[ y' + \frac{2xy^2}{x^2 - 4} = 0 \] \[ y' = -\frac{2xy^2}{x^2 - 4} \]

Теперь разделим переменные: \[ \frac{dy}{y^2} = -\frac{2x}{x^2 - 4}dx \]

Обе части уравнения содержат переменные, которые можно интегрировать отдельно. Проведем интегрирование: \[ \int \frac{dy}{y^2} = -\int \frac{2x}{x^2 - 4}dx \]

Левая часть: \[ \int y^{-2} dy = -y^{-1} + C_1 \]

Правая часть требует разложения на простейшие дроби: \[ -\int \frac{2x}{x^2 - 4}dx = -\int \frac{2x}{(x-2)(x+2)}dx \]

Разложим на простейшие дроби: \[ \frac{2x}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2} \]

Найдем коэффициенты A и B, для этого умножим обе стороны на знаменатель и прировняем коэффициенты при соответствующих степенях x: \[ 2x = A(x+2) + B(x-2) \]

Подставим \( x = 2 \), получим \( A = \frac{1}{2} \), и подставим \( x = -2 \), получим \( B = -\frac{1}{2} \). Тогда интеграл примет вид: \[ -\int \left( \frac{1/2}{x-2} - \frac{1/2}{x+2} \right)dx \]

Интегрируем: \[ -\frac{1}{2} \ln|x-2| + \frac{1}{2} \ln|x+2| + C_2 \]

Теперь можно записать общее решение дифференциального уравнения: \[ -\frac{1}{y} = -\frac{1}{2} \ln|x-2| + \frac{1}{2} \ln|x+2| + C_2 \]

Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальным условием \( y(1) = 1 \): \[ -1 = -\frac{1}{2} \ln|1-2| + \frac{1}{2} \ln|1+2| + C_2 \] \[ -1 = -\frac{1}{2} \ln(1) + \frac{1}{2} \ln(3) + C_2 \]

Используя свойство логарифма \(\ln(1) = 0\), получаем: \[ C_2 = -1 - \frac{1}{2} \ln(3) \]

Теперь подставим значение \( C_2 \) в общее решение: \[ -\frac{1}{y} = -\frac{1}{2} \ln|x-2| + \frac{1}{2} \ln|x+2| - 1 - \frac{1}{2} \ln(3) \]

Это частное решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием. При необходимости, этот результат может быть упрощен для получения более компактной формы.