Найти общее решение линейных уравнений y’-2x/1+x^2y=1+x^2

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение:

y' - \frac{2x}{1+x^2} y = 1 + x^2

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида:

y' + p(x) y = q(x)

где

p(x) = -\frac{2x}{1+x^2},
q(x) = 1 + x^2.

Для решения такого уравнения используем метод интегрирующего множителя.

1. Найдем интегрирующий множитель \mu(x):

 \mu(x) = e^{\int p(x) dx} = e^{\int -\frac{2x}{1+x^2} dx} 

Вычислим интеграл в показателе:

 \int -\frac{2x}{1+x^2} dx = -2 \int \frac{x}{1+x^2} dx 

Подставим замену t = 1 + x^2, тогда dt = 2x dx, откуда x dx = \frac{dt}{2}.

Тогда:

 -2 \int \frac{x}{1+x^2} dx = -2 \int \frac{x dx}{t} = -2 \int \frac{dt/2}{t} = - \int \frac{dt}{t} = - \ln|t| + C = - \ln(1 + x^2) + C 

Отсюда:

 \mu(x) = e^{-\ln(1+x^2)} = \frac{1}{1+x^2} 

2. Умножаем исходное уравнение на \mu(x):

 \frac{1}{1+x^2} y' - \frac{2x}{(1+x^2)^2} y = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1 

Левая часть уравнения — производная произведения:

 \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{1+x^2} \right ) = 1 

3. Интегрируем обе части по x:

 \int \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{1+x^2} \right ) dx = \int 1 dx 

Получаем:

 \frac{y}{1+x^2} = x + C 

4. Выразим y:

 y = (x + C)(1 + x^2) = x(1 + x^2) + C(1 + x^2) = x + x^3 + C + C x^2 

Ответ: общее решение уравнения

 y = x + x^3 + C(1 + x^2) 

где C — произвольная постоянная интегрирования.