Найти общее решение линейного дифференциального уравнения. второго порядка

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами)

Нам нужно найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

y'' + 2y' + y = 0

Шаг 1: Характеристическое уравнение

Для линейного дифференциального уравнения второго порядка:

ay'' + by' + cy = 0

характеристическое уравнение имеет вид:

ar^2 + br + c = 0

В нашем случае:

• a = 1
• b = 2
• c = 1

Подставим в характеристическое уравнение:

r^2 + 2r + 1 = 0

Шаг 2: Решим характеристическое уравнение

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один действительный корень (кратный корень):

r = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1

Шаг 3: Общее решение

Если характеристическое уравнение имеет один кратный корень r, то общее решение уравнения имеет вид:

y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{rx}

Подставим r = -1:

y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-x}

Ответ:

y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-x},
где C_1 и C_2 — произвольные постоянные.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.