Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение:

(x - 5)^4 dy - (y + 1)^3 dx = 0.

Шаг 1. Определение типа уравнения

Это уравнение можно переписать в виде:

(x - 5)^4 dy = (y + 1)^3 dx.

Или в дифференциальной форме:

(x - 5)^4 dy - (y + 1)^3 dx = 0.

Это уравнение первого порядка, заданное в виде:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0,

где

M(x,y) = -(y + 1)^3, \quad N(x,y) = (x - 5)^4.

Проверим, является ли уравнение точным, то есть проверим условие точности:

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [-(y + 1)^3] = -3(y + 1)^2,

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} [(x - 5)^4] = 4(x - 5)^3.

Так как \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}, уравнение не является точным.

Шаг 2. Попытка найти интегрирующий множитель

Проверим, существует ли интегрирующий множитель, зависящий только от x или только от y.

Для множителя, зависящего от x, условие:

\frac{1}{N} \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} \right) = h(x).

Вычислим:

\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} = -3(y + 1)^2 - 4(x - 5)^3.

Тогда:

\frac{1}{N} \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} \right) = \frac{-3(y + 1)^2 - 4(x - 5)^3}{(x - 5)^4} = -\frac{3(y + 1)^2}{(x - 5)^4} - \frac{4}{x - 5}.

Это выражение зависит от y, значит интегрирующий множитель, зависящий только от x, не подходит.

Проверим для множителя, зависящего только от y:

\frac{1}{M} \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) = h(y).

Вычислим:

\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = 4(x - 5)^3 + 3(y + 1)^2.

Тогда:

\frac{1}{M} \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) = \frac{4(x - 5)^3 + 3(y + 1)^2}{-(y + 1)^3} = -\frac{4(x - 5)^3}{(y + 1)^3} - \frac{3}{y + 1}.

Это выражение зависит от x, значит интегрирующий множитель, зависящий только от y, тоже не подходит.

Шаг 3. Попытка разделения переменных

Перепишем уравнение в виде:

(x - 5)^4 dy = (y + 1)^3 dx.

Перенесём все члены с y в одну сторону, а с x в другую:

\frac{dy}{(y + 1)^3} = \frac{dx}{(x - 5)^4}.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Шаг 4. Интегрирование обеих частей

Интегрируем обе части:

\int \frac{dy}{(y + 1)^3} = \int \frac{dx}{(x - 5)^4}.

Вычислим левый интеграл:

\int (y + 1)^{-3} dy.

Подставим u = y + 1, тогда du = dy:

\int u^{-3} du = \int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2 u^{2}} + C = -\frac{1}{2 (y + 1)^2} + C.

Вычислим правый интеграл:

\int (x - 5)^{-4} dx.

Подставим t = x - 5, тогда dt = dx:

\int t^{-4} dt = \frac{t^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3 t^{3}} + C = -\frac{1}{3 (x - 5)^3} + C.

Шаг 5. Запись общего решения

Приравняем интегралы (константы интегрирования можно объединить в одну):

-\frac{1}{2 (y + 1)^2} = -\frac{1}{3 (x - 5)^3} + C.

Умножим обе части на -1 для удобства:

\frac{1}{2 (y + 1)^2} = \frac{1}{3 (x - 5)^3} - C.

Обозначим C_1 = -C, тогда:

\frac{1}{2 (y + 1)^2} - \frac{1}{3 (x - 5)^3} = C_1.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.

Ответ:

Тип уравнения: дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение:

\boxed{\frac{1}{2 (y + 1)^2} - \frac{1}{3 (x - 5)^3} = C,}

где C — произвольная постоянная интегрирования.