Найти общее решение для дифференциального уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами)

Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка:

y''' + y'' = 49 - 24x^2

Наша задача — найти общее решение этого уравнения.

Шаг 1: Найдём общее решение однородного уравнения

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

y''' + y'' = 0

Введём характеристическое уравнение:

r^3 + r^2 = 0

Вынесем общий множитель:

r^2(r + 1) = 0

Корни:

r_1 = 0, r_2 = 0 (кратность 2), r_3 = -1

Тогда общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = C_1 + C_2 x + C_3 e^{-x}

Шаг 2: Найдём частное решение неоднородного уравнения

Правая часть уравнения — это многочлен второй степени: 49 - 24x^2.
Предположим частное решение в виде многочлена той же степени:

y_p(x) = Ax^2 + Bx + C

Найдём производные:

• y_p''(x) = 2A
• y_p'''(x) = 0

Подставим во входное уравнение:

y_p''' + y_p'' = 0 + 2A = 49 - 24x^2

Получаем:

2A = 49 - 24x^2

Это невозможно, так как левая часть — константа, а правая — многочлен степени 2. Значит, наше предположение недостаточно.

Шаг 3: Исправим форму частного решения

Поскольку правая часть — многочлен степени 2, а левая часть включает только вторую и третью производные, то при подстановке теряется степень. Поэтому предположим частное решение степени четыре:

y_p(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E

Найдём производные:

• y_p''(x) = 12A x^2 + 6B x + 2C
• y_p'''(x) = 24A x + 6B

Теперь подставим в уравнение:

y_p''' + y_p'' = 24A x + 6B + 12A x^2 + 6B x + 2C

Соберём по степеням:

y_p''' + y_p'' = 12A x^2 + (24A + 6B)x + (6B + 2C)

Сравним с правой частью:

12A x^2 + (24A + 6B)x + (6B + 2C) = 49 - 24x^2

Сравниваем коэффициенты:

• 12A = -24 → A = -2
• 24A + 6B = 0 → -48 + 6B = 0 → B = 8
• 6B + 2C = 49 → 48 + 2C = 49 → C = 0.5

Таким образом, частное решение:

y_p(x) = -2x^4 + 8x^3 + 0.5x^2 + Dx + E

Но так как Dx + E уже входит в общее решение однородного уравнения, мы можем отбросить эти члены, чтобы избежать линейной зависимости. Поэтому частное решение:

y_p(x) = -2x^4 + 8x^3 + 0.5x^2

Шаг 4: Общее решение уравнения

Складываем общее решение однородного и частного уравнений:

y(x) = C_1 + C_2 x + C_3 e^{-x} - 2x^4 + 8x^3 + 0.5x^2

Ответ:

y(x) = C_1 + C_2 x + C_3 e^{-x} - 2x^4 + 8x^3 + 0.5x^2