Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Это задание по предмету "Дифференциальные уравнения", раздел "Дифференциальные уравнения второго порядка".

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка \( y'' + 10y' + 34y = -9e^{5x} \), нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения.

1. Решение однородного уравнения:

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: \[ y'' + 10y' + 34y = 0. \]

Решим его характеристическое уравнение: \[ r^2 + 10r + 34 = 0. \]

Найдём корни характеристического уравнения: \[ r_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-10 \pm 6i}{2} = -5 \pm 3i. \]

Корни характеристического уравнения комплексные: \[ r_1 = -5 + 3i, \quad r_2 = -5 - 3i. \]

Общее решение однородного уравнения: \[ y_h(x) = e^{-5x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)). \]

2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения:

Предположим частное решение уравнения вида: \[ y_p = Ae^{5x}. \]

Подставим \( y_p \) в неоднородное уравнение: \[ y_p = Ae^{5x}, \]
\[ y_p' = 5Ae^{5x}, \]
\[ y_p'' = 25Ae^{5x}. \]

Теперь вставим \( y_p \), \( y_p' \) и \( y_p'' \) в исходное уравнение: \[ 25Ae^{5x} + 10 \cdot 5Ae^{5x} + 34Ae^{5x} = -9e^{5x}, \]
\[ 25Ae^{5x} + 50Ae^{5x} + 34Ae^{5x} = -9e^{5x}, \]
\[ 109Ae^{5x} = -9e^{5x}. \]

Разделим обе части уравнения на \( e^{5x} \): \[ 109A = -9, \]
\[ A = -\frac{9}{109}. \]

Таким образом, частное решение: \[ y_p = -\frac{9}{109}e^{5x}. \]

3. Общее решение неоднородного уравнения:

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения: \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x), \]
\[ y(x) = e^{-5x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) - \frac{9}{109}e^{5x}. \]

Таким образом, общее решение уравнения: \[ y(x) = e^{-5x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) - \frac{9}{109}e^{5x}. \]