Найти общее решение дифференциального уравнения. Сделать проверку

Это задание по предмету "Математика", раздел "Дифференциальные уравнения".

Рассмотрим дифференциальное уравнение: \[ x \cdot y'' + 2 \cdot y' = x^3 \] Для его решения будем использовать метод подстановки. Предположим, что \( y' = u \), тогда \( y'' = u' \). Подставим это в исходное уравнение: \[ x \cdot u' + 2 \cdot u = x^3 \] Это уравнение первого порядка относительно \( u \).

Преобразуем его к стандартному виду: \[ x \cdot \frac{du}{dx} + 2 \cdot u = x^3 \] Разделим на \( x \): \[ \frac{du}{dx} + \frac{2}{x} \cdot u = x^2 \] Для решения этого дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно использовать метод множителей. Введем множитель: \[ \mu(x) = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2 \]

Умножим исходное уравнение на \( x^2 \): \[ x^2 \cdot \frac{du}{dx} + 2 \cdot x \cdot u = x^4 \] Запишем левую часть как производную произведения: \[ \frac{d}{dx}(x^2 \cdot u) = x^4 \] Интегрируем обе части уравнения: \[ x^2 \cdot u = \int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C \]

Теперь выражаем \( u \): \[ u = \frac{x^5}{5 \cdot x^2} + \frac{C}{x^2} = \frac{x^3}{5} + \frac{C}{x^2} \] Так как \( u = y' \), можно записать: \[ y' = \frac{x^3}{5} + \frac{C}{x^2} \]

Для нахождения \( y \) проинтегрируем обе части уравнения: \[ y = \int \left( \frac{x^3}{5} + \frac{C}{x^2} \right) dx = \int \frac{x^3}{5} dx + \int \frac{C}{x^2} dx \] Интегрируем каждую часть: \[ y = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^4}{4} + C \cdot \frac{-1}{x} + C_1 = \frac{x^4}{20} - \frac{C}{x} + C_1 \]

Итак, общее решение дифференциального уравнения: \[ y = \frac{x^4}{20} - \frac{C}{x} + C_1 \] Теперь проверим полученное решение. Найдем \( y' \) и \( y'' \): \[ y' = \frac{4x^3}{20} + \frac{C}{x^2} = \frac{x^3}{5} + \frac{C}{x^2} \] \[ y'' = \frac{3x^2}{5} - \frac{2C}{x^3} \]

Подставим \( y \), \( y' \) и \( y'' \) в исходное уравнение: \[ x \left( \frac{3x^2}{5} - \frac{2C}{x^3} \right) + 2 \left( \frac{x^3}{5} + \frac{C}{x^2} \right) = \[ \frac{3x^3}{5} - \frac{2C}{x^2} + \frac{2x^3}{5} + \frac{2C}{x^2} = x^3 \] Так и есть, исходное уравнение выполняется. Решение верное. Окончательное общее решение: \[ y = \frac{x^4}{20} - \frac{C}{x} + C_1 \]