Найти общее решение дифференциального уравнения и сделать проверку

Предмет: Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения — это раздел математики, связанный с нахождением функций, которые удовлетворяют уравнениям, содержащим их производные.

Заданное дифференциальное уравнение:

3yy'' + (y')^2 = 0

Обозначим y' через p. Тогда y'' можно выразить как p \frac{dp}{dy}.

Переписанное уравнение:

3y p \frac{dp}{dy} + p^2 = 0

Разделим обе части на p (если p \neq 0):

3y \frac{dp}{dy} + p = 0

Разделим обе части на 3y:

\frac{dp}{dy} = -\frac{p}{3y}

Это дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Перепишем его в разделенной форме:

\frac{dp}{p} = -\frac{dy}{3y}

Интеграция:

\int \frac{1}{p} dp = \int -\frac{1}{3y} dy

Решения интегралов:

\ln|p| = -\frac{1}{3} \ln|y| + C

где C — постоянная интегрирования. Перепишем это как:

\ln|p| = \ln|y|^{-1/3} + C

где e^C обозначим как A, тогда:

|p| = A |y|^{-1/3}

где A — произвольная постоянная. Убираем модуль:

p = \pm A y^{-1/3}

Вспомним, что p = \frac{dy}{dx}:

\frac{dy}{dx} = A y^{-1/3}

Интеграция:

\int y^{1/3} dy = A \int dx

\frac{3}{4} y^{4/3} = Ax + B

где B — постоянная интегрирования. Выразим y:

y = \left( \frac{4}{3} (Ax + B) \right)^{3/4}

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.

Проверка:

Подставим y = \left( \frac{4}{3} (Ax + B) \right)^{3/4} в исходное уравнение 3yy'' + (y')^2 = 0:

3 \left( \left( \frac{4}{3} (Ax + B) \right)^{3/4} \right) \left( \frac{-A^2}{3} \left( \frac{4}{3} (Ax + B) \right)^{-5/4} \right) + \left( A \left( \frac{4}{3} (Ax + B) \right)^{-1/4} \right)^2 = 0

Таким образом, уравнение выполнено, и общее решение найдено корректно.