Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение с условием

Это дифференциальное уравнение первого порядка, которое является линейным.

Нам нужно найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение с заданным начальным условием \(y(1) = -6\). Задано уравнение: \[ y' - \frac{4}{x}y = 9x^6 \] Для решения данного уравнения используется метод нахождения общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.

1. Приведение уравнения к стандартному виду:

\[ y' + p(x)y = q(x) \] В данном уравнении: \[ p(x) = -\frac{4}{x} \] \[ q(x) = 9x^6 \]

2. Вычисление интегрирующего множителя \(\mu(x)\):

\[ \mu(x) = e^{\int p(x) \, dx} = e^{\int -\frac{4}{x} \, dx} \] Вычисляем интеграл: \[ \int -\frac{4}{x} \, dx = -4 \ln|x| = \ln|x^{-4}| \] \[ \mu(x) = e^{\ln|x^{-4}|} = |x^{-4}| = x^{-4} \quad (\text{если } x > 0) \]

3. Умножение исходного уравнения на интегрирующий множитель:

\[ x^{-4}y' - 4x^{-5}y = 9x^2 \]

4. Переписывание левой части в виде производной:

\[ \frac{d}{dx}(x^{-4}y) = 9x^2 \]

5. Интегрирование обеих частей уравнения по \(x\):

\[ \int \frac{d}{dx}(x^{-4}y) \, dx = \int 9x^2 \, dx \] \[ x^{-4}y = \int 9x^2 \, dx \] \[ x^{-4}y = 3x^3 + C \] где \(C\) — произвольная константа.

6. Умножение на \(x^4\) для нахождения решения для \(y\):

\[ y = 3x^7 + Cx^4 \] Таким образом, общее решение дифференциального уравнения: \[ y = 3x^7 + Cx^4 \]

Теперь находим частное решение с начальным условием \(y(1) = -6\):

7. Подставляем \(x = 1\) и \(y(1) = -6\) в общее решение:

\[ -6 = 3(1)^7 + C(1)^4 \] \[ -6 = 3 + C \] \[ C = -9 \]

8. Подставляем найденное значение \(C\) в общее решение:

\[ y = 3x^7 - 9x^4 \] Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с начальным условием \(y(1) = -6\): \[ y = 3x^7 - 9x^4 \]