Найти общее решение дифференциального уравнения 2-ого порядка

Это задание по предмету "Дифференциальные уравнения", раздел "Дифференциальные уравнения второго порядка"

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения \( y'' - 2y' + y = e^x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Решим однородное уравнение \( y'' - 2y' + y = 0 \). Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: \[\ r^2 - 2r + 1 = 0 \]\ Решим его: \[\ (r - 1)^2 = 0 \implies r = 1 \text{ (корень кратности 2)} \]\ Это значит, что однородное решение будет: \[\ y_h = C_1 e^x + C_2 x e^x \]\
2. Найдем частное решение для неоднородного уравнения: Поскольку правая часть уравнения \( e^x \) совпадает с решением однородного уравнения (однократное переменное с тем же основанием \( e^x \)), предполагаемое частное решение должно включать такие термины, чтобы избежать совпадения. Мы предполагаем следующее частное решение: \[\ y_p = Ax e^x \]\ Найдём первую и вторую производные предложенного решения: \[\ y_p' = A e^x + A x e^x \]\ \[\ y_p'' = A e^x + A e^x + A x e^x = A(2 e^x + x e^x) \]\ Подставим эти выражения в исходное дифференциальное уравнение: \[\ A(2 e^x + x e^x) - 2(A e^x + A x e^x) + Ax e^x = e^x \]\ Упростим уравнение: \[\ A(2 e^x + x e^x) - 2A e^x - 2A x e^x + A x e^x = e^x \]\ \[\ 2A e^x + A x e^x - 2A e^x = e^x \]\ \[\ A x e^x = e^x \]\ Это означает, что: \[\ A x = 1 \implies A = 1 \]\ Таким образом, частное решение будет: \[\ y_p = x e^x \]\
3. Общее решение: Общее решение уравнения – это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения: \[\ y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 x e^x + x e^x \]\ Соответствующий ответ: \[\ y = C_1 e^x + C_2 x e^x + x e^x \]\ Выбор варианта: \[\ y = C_1 e^x + C_2 x e^x + x e^x \]\