Найти общее решение дифференциального уравнения

Это задание связано с дифференциальными уравнениями, что является разделом высшей математики.

Перед нами линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для начала найдем решение соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения: \[y'' - 4y' + 4y = 0\] Для этого составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: \[r^2 - 4r + 4 = 0\] Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью факторизации или квадратной формулы. Так как уравнение является полным квадратом, его решение будет иметь вид: \[(r - 2)^2 = 0\] Отсюда корни характеристического уравнения: \[r_1 = r_2 = 2\] Поскольку корни совпадают, общее решение однородного уравнения будет иметь вид: \[y_h(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x}\] где \(C_1\) и \(C_2\) - постоянные, которые определяются из начальных или граничных условий.

Теперь нам необходимо найти частное решение \(y_p\) неоднородного уравнения. Для этого можно использовать метод неопределенных коэффициентов. Поскольку правая часть уравнения является константой (числом), предположим, что \(y_p\) также будет константой: \[y_p = A\] Подставим это предполагаемое решение \(y_p\) в неоднородное уравнение: \[0'' - 4 \cdot 0' + 4A = 2\] \[4A = 2\] Отсюда находим \[A = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] Таким образом, частное решение неоднородного уравнения: \[y_p(x) = \frac{1}{2}\] Общее решение дифференциального уравнения будет суммой решений однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: \[y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x} + \frac{1}{2}\] Это и есть искомое общее решение данного дифференциального уравнения.