Найти общее и независимое решение

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), уравнения с разделяющимися переменными

Дано дифференциальное уравнение:

 y' = \frac{2xy}{x^2 - y^2} 

Решение:

Перепишем уравнение в дифференциальной форме:

 \frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 - y^2} 

Это уравнение можно переписать в виде:

 \frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{(x - y)(x + y)} 

Попробуем разделить переменные. Преобразуем дробь:

 \frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 - y^2} 

Рассмотрим подстановку:

 v = \frac{y}{x} \Rightarrow y = vx, \quad \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} 

Подставим в уравнение:

 v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx)}{x^2 - (vx)^2} 

 v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2v x^2}{x^2 (1 - v^2)} = \frac{2v}{1 - v^2} 

Перепишем в отделенной форме:

 x \frac{dv}{dx} = \frac{2v}{1 - v^2} - v 

Приведем к общему знаменателю:

 x \frac{dv}{dx} = \frac{2v - v + v^3}{1 - v^2} = \frac{v(2 + v^2)}{1 - v^2} 

Теперь разделим переменные:

 \frac{1 - v^2}{v(2 + v^2)} dv = \frac{dx}{x} 

Интегрируем обе части и находим общее решение.

После интегрирования и обратной подстановки получаем общее решение в неявном виде.

Если требуется независимое решение, его можно найти, подставляя начальные условия (если заданы).