Найти область сходимости степенного ряда рядом Тейлора

Предмет: Математика

Раздел предмета: Математический анализ (ряды, теория степенных рядов, ряды Тейлора)

Задан степенной ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2 (x+2)^n}{n+1} \]

Поиск области сходимости степенного ряда

Область сходимости степенного ряда можно определить с помощью признака Коши-Адамара или радиуса сходимости. Для этого используем теорему Д'Аламбера (признак Лопиталя).

Рассмотрим коэффициенты \( a_n \) ряда: \[ a_n = \frac{n^2}{n+1} \]

Рассмотрим частное рядом и применим признак Д'Аламбера: \[ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| |(x+2)| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^2}{n+2} \cdot \frac{n+1}{n^2} \right| |(x+2)| \]

Посчитаем данный предел: \[ = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^2}{(n+2)(n^2)} \cdot (n+1) \right| |(x+2)| \]

Поскольку старшие члены в числителе и знаменателе методом выделения старших членов равны \( n^3 \), дробь стремится к 1: \[ = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{2}{n}} \right| |(x+2)| = |(x+2)| \]

Таким образом, по признаку Д'Аламбера, ряд сходится если: \[ |x+2| < 1 \]

Следовательно, область сходимости ряда: \[ -3 < x < -1 \]

Проверка Границ Области Сходимости:

Нужно проверить сходимость ряда на краевых значениях области:

1. \( x = -3 \):

2. \( x = -1 \):

Для \( x = -3 \):

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2 (-1)^n}{n+1} \]

Данный ряд сходится чередующийся, так как члены убывают и стремяться к 0 (по признаку Лейбница).

Для \( x = -1 \):

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{(n+1)} \]

Данный ряд расходится как ряд \(\sum n\) (по признаку сравнения).

Итак, окончательная область сходимости: \[ -3 \leq x < -1 \]