Найти область сходимости степенного ряда и указать радиус и интервал сходимости ряда

Рассмотрим степенной ряд: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x-2{)}^n}{n\cdot 5^n}\text{]}$ Чтобы найти область сходимости степенного ряда, нужно определить его радиус сходимости $\text{(}R\text{)}$. Для этого применим формулу для радиуса сходимости: $\text{[}\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\text{]}$ Где $\text{(}{a}_n=\frac{1}{n\cdot 5^n}\text{)}$.

1. Определим отношение: $\text{[}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{1}{(n+1)\cdot 5^{n+1}}}{\frac{1}{n\cdot 5^n}}\right|=\left|\frac{n\cdot 5^n}{(n+1)\cdot 5^{n+1}}\right|=\left|\frac{n}{(n+1)\cdot 5}\right|=\frac{n}{5(n+1)}\text{]}$
2. Найдем предел для этой последовательности при $\text{(}n\to \mathrm{\infty }\text{)}$: $\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{5(n+1)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{5n+5}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{5+\frac{5}{n}}=\frac{1}{5}\text{]}$
3. Следовательно: $\text{[}\frac{1}{R}=\frac{1}{5}\text{]}$ Отсюда: $\text{[}R=5\text{]}$ Радиус сходимости $\text{(}R\text{)}$ найден.

Теперь определим интервал сходимости сериала, который будет $\text{(}|x-2|<R\text{)}$: $\text{[}|x-2|<5\text{]}$ Это можно переписать как: $\text{[}-5<x-2<5\text{]}$ Прибавляем 2 ко всем частям неравенства: $\text{[}-3<x<7\text{]}$

Следовательно, интервал сходимости степенного ряда: $\text{(}(-3,7)\text{)}$. Для граничных точек $\text{(}x=-3\text{)}$ и $\text{(}x=7\text{)}$, нужно проверить сходимость ряда отдельно.

1. Для $\text{(}x=-3\text{)}$: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-3-2{)}^n}{n\cdot 5^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-5{)}^n}{n\cdot 5^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}\text{]}$ Этот ряд является знакопеременным гармоническим рядом, который сходится.
2. Для $\text{(}x=7\text{)}$: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(7-2{)}^n}{n\cdot 5^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{5^n}{n\cdot 5^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\text{]}$ Этот ряд является гармоническим рядом, который расходится.

Следовательно, конечный интервал сходимости степенного ряда: $\text{(}[-3,7)\text{)}$. Итак, область сходимости ряда: $\text{(}x\in [-3,7)\text{)}$. Радиус сходимости $\text{(}R=5\text{)}$. Интервал сходимости: $\text{(}[-3,7)\text{)}$.