Найти область сходимости степенного ряда и указать радиус и интервал сходимости ряда

Рассмотрим степенной ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n \cdot 5^n} \] Чтобы найти область сходимости степенного ряда, нужно определить его радиус сходимости \(R\). Для этого применим формулу для радиуса сходимости: \[ \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \] Где \(a_n = \frac{1}{n \cdot 5^n}\).

1. Определим отношение: \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{1}{(n+1) \cdot 5^{n+1}}}{\frac{1}{n \cdot 5^n}} \right| = \left| \frac{n \cdot 5^n}{(n+1) \cdot 5^{n+1}} \right| = \left| \frac{n}{(n+1) \cdot 5} \right| = \frac{n}{5(n+1)} \]
2. Найдем предел для этой последовательности при \(n \to \infty\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{5(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{5n + 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5 + \frac{5}{n}} = \frac{1}{5} \]
3. Следовательно: \[ \frac{1}{R} = \frac{1}{5} \] Отсюда: \[ R = 5 \] Радиус сходимости \(R\) найден.

Теперь определим интервал сходимости сериала, который будет \( |x - 2| < R \): \[ |x - 2| < 5 \] Это можно переписать как: \[ -5 < x - 2 < 5 \] Прибавляем 2 ко всем частям неравенства: \[ -3 < x < 7 \]

Следовательно, интервал сходимости степенного ряда: \( (-3, 7) \). Для граничных точек \(x = -3\) и \(x = 7\), нужно проверить сходимость ряда отдельно.

1. Для \(x = -3\): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3-2)^n}{n \cdot 5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-5)^n}{n \cdot 5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \] Этот ряд является знакопеременным гармоническим рядом, который сходится.
2. Для \(x = 7\): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(7-2)^n}{n \cdot 5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n \cdot 5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \] Этот ряд является гармоническим рядом, который расходится.

Следовательно, конечный интервал сходимости степенного ряда: \( [-3, 7) \). Итак, область сходимости ряда: \( x \in [-3, 7) \). Радиус сходимости \(R = 5\). Интервал сходимости: \( [-3, 7) \).