Найти область сходимости степенного ряда

Задание и его предмет:

Данный текст содержит задачи по математике и теории вероятностей. Я решу второе задание: "Найди область сходимости степенного ряда". Степенной ряд выглядит следующим образом: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)} \]

Работа над заданием:

1. Определение общей формулы ряда: Общая формула для данного ряда будет: \[ a_n = \frac{x^n}{n(n+1)} \]
2. Для нахождения области сходимости используем радиус сходимости. Для степенного ряда радиус сходимости можно определить с помощью формулы Коши-Адамара: \[ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \] \[ a_n = \frac{1}{n(n+1)} \]
3. Методом корней (формула Коши-Адамара): Однако, заметим, что проверить можем не через корень кольцо сходимости, а через отношение формулы степенного ряда. Для этого нужно использовать тест на сходимость длинного ряда (формула Даламбера). \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)(n+2)}}{\frac{x^n}{n(n+1)}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{n+2} \cdot \frac{n}{1} \right| = \left| x \right| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(n+2)} = \left| x \right| \] Ряд будет сходиться, если предел данного выражения меньше 1. \[ \left| x \right| < 1 \] Таким образом, область сходимости ряда будет: \[ x \in (-1, 1) \]