Найти неопределенный интеграл, а результат проверить дифференцированием

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Интегралы)

Задано: $\text{[}\int \frac{x^3-2\sqrt{x}+2x}{\sqrt[3]{x}}dx\text{]}$

Шаг 1: Упростим выражение под интегралом

Сначала преобразуем выражение. $\text{[}\sqrt[3]{x}=x^{1/3}\text{и}\sqrt{x}=x^{1/2}\text{]}$

Теперь разделим каждый член числителя на $\text{(}{x}^{1/3}\text{)}$:

$\text{[}\frac{x^3}{x^{1/3}}=x^{3-1/3}=x^{8/3}\text{]}$

$\text{[}\frac{-2\sqrt{x}}{x^{1/3}}=-2\cdot \frac{x^{1/2}}{x^{1/3}}=-2x^{1/2-1/3}=-2x^{1/6}\text{]}$

$\text{[}\frac{2x}{x^{1/3}}=2x^{1-1/3}=2x^{2/3}\text{]}$

Таким образом, наше выражение преобразуется в: $\text{[}\int (x^{8/3}-2x^{1/6}+2x^{2/3})dx\text{]}$

Шаг 2: Найдём неопределенный интеграл

Теперь применим правило интегрирования степенных функций: $\text{[}\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1},\text{где}n\ne -1\text{]}$

Интегрируем каждый член:

$\text{[}\int x^{8/3}dx=\frac{x^{8/3+1}}{8/3+1}=\frac{x^{11/3}}{11/3}=\frac{3x^{11/3}}{11}\text{]}$

$\text{[}\int -2x^{1/6}dx=-2\cdot \frac{x^{1/6+1}}{1/6+1}=-2\cdot \frac{x^{7/6}}{7/6}=-\frac{12x^{7/6}}{7}\text{]}$

$\text{[}\int 2x^{2/3}dx=2\cdot \frac{x^{2/3+1}}{2/3+1}=2\cdot \frac{x^{5/3}}{5/3}=\frac{6x^{5/3}}{5}\text{]}$

Таким образом, общий ответ: $\text{[}\int \frac{x^3-2\sqrt{x}+2x}{\sqrt[3]{x}}dx=\frac{3x^{11/3}}{11}-\frac{12x^{7/6}}{7}+\frac{6x^{5/3}}{5}+C\text{]}$

Где $\text{(}C\text{)}$ — константа интегрирования.

Шаг 3: Проверка дифференцированием

Теперь проверим результат дифференцированием. Возьмём производную от каждого члена:

$\text{[}\frac{d}{dx}\left(\frac{3x^{11/3}}{11}\right)=\frac{3}{11}\cdot \frac{11}{3}{x}^{11/3-1}=x^{8/3}\text{]}$

$\text{[}\frac{d}{dx}(-\frac{12x^{7/6}}{7})=-\frac{12}{7}\cdot \frac{7}{6}{x}^{7/6-1}=-2x^{1/6}\text{]}$

$\text{[}\frac{d}{dx}\left(\frac{6x^{5/3}}{5}\right)=\frac{6}{5}\cdot \frac{5}{3}{x}^{5/3-1}=2x^{2/3}\text{]}$

Складываем результаты: $\text{[}{x}^{8/3}-2x^{1/6}+2x^{2/3}\text{]}$

Это выражение совпадает с функцией под интегралом, следовательно, результат верен.

Ответ:

$\text{[}\int \frac{x^3-2\sqrt{x}+2x}{\sqrt[3]{x}}dx=\frac{3x^{11/3}}{11}-\frac{12x^{7/6}}{7}+\frac{6x^{5/3}}{5}+C\text{]}$