Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Задано: \[ \int \frac{x^3 - 2\sqrt{x} + 2x}{\sqrt[3]{x}} \, dx \]
Сначала преобразуем выражение. \[ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \quad \text{и} \quad \sqrt{x} = x^{1/2} \]
Теперь разделим каждый член числителя на \( x^{1/3} \):
\[ \frac{x^3}{x^{1/3}} = x^{3 - 1/3} = x^{8/3} \]
\[ \frac{-2\sqrt{x}}{x^{1/3}} = -2 \cdot \frac{x^{1/2}}{x^{1/3}} = -2x^{1/2 - 1/3} = -2x^{1/6} \]
\[ \frac{2x}{x^{1/3}} = 2x^{1 - 1/3} = 2x^{2/3} \]
Таким образом, наше выражение преобразуется в: \[ \int \left( x^{8/3} - 2x^{1/6} + 2x^{2/3} \right) dx \]
Теперь применим правило интегрирования степенных функций: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \text{где} \ n \neq -1 \]
Интегрируем каждый член:
\[ \int x^{8/3} \, dx = \frac{x^{8/3 + 1}}{8/3 + 1} = \frac{x^{11/3}}{11/3} = \frac{3x^{11/3}}{11} \]
\[ \int -2x^{1/6} \, dx = -2 \cdot \frac{x^{1/6 + 1}}{1/6 + 1} = -2 \cdot \frac{x^{7/6}}{7/6} = -\frac{12x^{7/6}}{7} \]
\[ \int 2x^{2/3} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} = 2 \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} = \frac{6x^{5/3}}{5} \]
Таким образом, общий ответ: \[ \int \frac{x^3 - 2\sqrt{x} + 2x}{\sqrt[3]{x}} \, dx = \frac{3x^{11/3}}{11} - \frac{12x^{7/6}}{7} + \frac{6x^{5/3}}{5} + C \]
Где \( C \) — константа интегрирования.
Теперь проверим результат дифференцированием. Возьмём производную от каждого члена:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{3x^{11/3}}{11} \right) = \frac{3}{11} \cdot \frac{11}{3} x^{11/3 - 1} = x^{8/3} \]
\[ \frac{d}{dx} \left( -\frac{12x^{7/6}}{7} \right) = -\frac{12}{7} \cdot \frac{7}{6} x^{7/6 - 1} = -2x^{1/6} \]
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{6x^{5/3}}{5} \right) = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{3} x^{5/3 - 1} = 2x^{2/3} \]
Складываем результаты: \[ x^{8/3} - 2x^{1/6} + 2x^{2/3} \]
Это выражение совпадает с функцией под интегралом, следовательно, результат верен.
\[ \int \frac{x^3 - 2\sqrt{x} + 2x}{\sqrt[3]{x}} dx = \frac{3x^{11/3}}{11} - \frac{12x^{7/6}}{7} + \frac{6x^{5/3}}{5} + C \]