Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функции, нахождение экстремумов

Нам дана функция:
y = x^3 + 2x^2 + x + 3

и отрезок [-4; -1].

Шаг 1: Найдем производную функции

Для поиска экстремумов вычислим первую производную:

y' = \frac{d}{dx} (x^3 + 2x^2 + x + 3)

Выполняем дифференцирование:

y' = 3x^2 + 4x + 1

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся из уравнения y' = 0:

3x^2 + 4x + 1 = 0

Решим квадратное уравнение по формуле корней:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

где a = 3, b = 4, c = 1.

Сначала вычисляем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4

Теперь найдем корни:

x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2(3)} = \frac{-4 \pm 2}{6}

Получаем два значения:

x_1 = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}
x_2 = \frac{-4 - 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1

Шаг 3: Проверяем, какие точки принадлежат отрезку

Наш отрезок: [-4; -1].
Точка x_1 = -\frac{1}{3} не принадлежит отрезку.
Точка x_2 = -1 принадлежит отрезку.

Шаг 4: Вычисляем значение функции в критических и граничных точках

Вычислим y(x) в точках x = -4, x = -1:

1. Для x = -4:
   y(-4) = (-4)^3 + 2(-4)^2 + (-4) + 3
   y(-4) = -64 + 2(16) - 4 + 3 = -64 + 32 - 4 + 3 = -33

2. Для x = -1:
   y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 3
   y(-1) = -1 + 2(1) - 1 + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3

Шаг 5: Определяем наибольшее и наименьшее значение

Сравниваем значения:

• y(-4) = -33
• y(-1) = 3

Наименьшее значение функции: y_{\text{min}} = -33 при x = -4.
Наибольшее значение функции: y_{\text{max}} = 3 при x = -1.

Ответ:
Наименьшее значение: -33 при x = -4.
Наибольшее значение: 3 при x = -1.