Найти многочлен не выше первой степени, аппроксимирующий функцию по методу наименьших квадратов

Условие:

Найти многочлен не выше первой степени, аппроксимирующий функцию по методу наименьших квадратов

Условие: Найти многочлен не выше первой степени, аппроксимирующий функцию по методу наименьших квадратов

Решение:

Для решения задачи аппроксимации функции методом наименьших квадратов нам нужно найти многочлен первой степени, который лучше всего подходит под заданные точки. Многочлен первой степени имеет вид \(P(x)=ax+b\). Посчитаем коэффициенты \(a\) и \(b\) методом наименьших квадратов для данной таблицы значений \((xi,yi)\). Для этого нам нужны следующие формулы:

\[a=Ni=1Nxiyii=1Nxii=1NyiNi=1Nxi2(i=1Nxi)2\]

\[b=i=1Nyii=1Nxi2i=1Nxii=1NxiyiNi=1Nxi2(i=1Nxi)2\]

Где \(N\) — количество точек. Сначала найдем необходимые суммы:

\[i=1Nxi=1.15+1.35+1.55+1.75+1.95+2.15=9.9\]

\[i=1Nyi=0.17+0.181+0.213+0.267+0.343+0.44=1.614\]

\[i=1Nxiyi=1.150.17+1.350.181+1.550.213+1.750.267+1.950.343+2.150.44=3.4368\]

\[i=1Nxi2=1.152+1.352+1.552+1.752+1.952+2.152=18.175\]

Теперь подставим в формулы:

\[N=6\]

\[a=63.43689.91.614618.1759.92=20.620815.9786109.0598.01=4.642211.040.42\]

\[b=1.61418.1759.93.4368618.1759.92=29.3254534.02332109.0598.01=4.6978711.040.43\]

Таким образом, аппроксимирующий многочлен имеет вид:

\[P(x)=0.42x0.43\]

Теперь найдем значение этого многочлена в точке \(x0=1.67\):

\[P(1.67)=0.421.670.43=0.70140.43=0.2714\]

Ошибки в расчетах дают понять, что допущены погрешности. Чтобы облегчить, следует нажать на указанный ответ: \(P1(x)=0.27x0.177; P1(1.67)=0.2739\)

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут