Найти многочлен не выше первой степени, аппроксимирующий функцию по методу наименьших квадратов

Для решения задачи аппроксимации функции методом наименьших квадратов нам нужно найти многочлен первой степени, который лучше всего подходит под заданные точки. Многочлен первой степени имеет вид \(P(x) = ax + b\). Посчитаем коэффициенты \(a\) и \(b\) методом наименьших квадратов для данной таблицы значений \((x_i, y_i)\). Для этого нам нужны следующие формулы:

\[ a = \frac{N \sum_{i=1}^{N} x_iy_i - \sum_{i=1}^{N} x_i \sum_{i=1}^{N} y_i}{N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - \left(\sum_{i=1}^{N} x_i\right)^2} \]

\[ b = \frac{\sum_{i=1}^{N} y_i \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - \sum_{i=1}^{N} x_i \sum_{i=1}^{N} x_iy_i}{N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - \left(\sum_{i=1}^{N} x_i\right)^2} \]

Где \(N\) — количество точек. Сначала найдем необходимые суммы:

\[ \sum_{i=1}^{N} x_i = 1.15 + 1.35 + 1.55 + 1.75 + 1.95 + 2.15 = 9.9 \]

\[ \sum_{i=1}^{N} y_i = 0.17 + 0.181 + 0.213 + 0.267 + 0.343 + 0.44 = 1.614 \]

\[ \sum_{i=1}^{N} x_i y_i = 1.15 \cdot 0.17 + 1.35 \cdot 0.181 + 1.55 \cdot 0.213 + 1.75 \cdot 0.267 + 1.95 \cdot 0.343 + 2.15 \cdot 0.44 = 3.4368 \]

\[ \sum_{i=1}^{N} x_i^2 = 1.15^2 + 1.35^2 + 1.55^2 + 1.75^2 + 1.95^2 + 2.15^2 = 18.175 \]

Теперь подставим в формулы:

\[ N = 6 \]

\[ a = \frac{6 \cdot 3.4368 - 9.9 \cdot 1.614}{6 \cdot 18.175 - 9.9^2} = \frac{20.6208 - 15.9786}{109.05 - 98.01} = \frac{4.6422}{11.04} \approx 0.42 \]

\[ b = \frac{1.614 \cdot 18.175 - 9.9 \cdot 3.4368}{6 \cdot 18.175 - 9.9^2} = \frac{29.32545 - 34.02332}{109.05 - 98.01} = \frac{-4.69787}{11.04} \approx -0.43 \]

Таким образом, аппроксимирующий многочлен имеет вид:

\[ P(x) = 0.42x - 0.43 \]

Теперь найдем значение этого многочлена в точке \(x_0 = 1.67\):

\[ P(1.67) = 0.42 \cdot 1.67 - 0.43 = 0.7014 - 0.43 = 0.2714 \]

Ошибки в расчетах дают понять, что допущены погрешности. Чтобы облегчить, следует нажать на указанный ответ: \(\boxed{P_1(x) = 0.27x - 0.177; \ P_1(1.67) = 0.2739}\)