Найти коэффициент при третьем слагаемом в ряде Маклорена для функции

Это задание относится к предмету "математический анализ", а именно к разделу "Ряды и разложения функций в ряды".

Чтобы найти коэффициент при третьем слагаемом в ряде Маклорена для функции \( f(x) = e^{-x^2} \), нужно разложить эту функцию в ряд Маклорена. Ряд Маклорена для функции \( f(x) \) разлагается следующим образом: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n, \] где \( f^{(n)}(0) \) обозначает \( n \)-ю производную функции \( f \) в точке \( x = 0 \). Наша цель — определить коэффициент при третьем слагаемом, то есть коэффициент при \( x^2 \) (поскольку ряд Маклорена для функций вида \( e^{-x^2} \) включает только четные степени \( x \)).

1. Найдем первые несколько производных функции \( f(x) = e^{-x^2} \):

   • \( f(x) = e^{-x^2} \)
   • Первая производная: \( f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = -2x e^{-x^2} \)
   • Вторая производная: \( f''(x) = \frac{d}{dx}(-2x e^{-x^2}) = -2(e^{-x^2}) + 4x^2 e^{-x^2} = -2 e^{-x^2} (1 - 2x^2) \)
   • Третья производная: \( f'''(x) \).

   Поскольку \( f'''(x) \) — сложная производная для вычисления, разумно обратить внимание на \(\frac{d^3}{dx^3}\), которое будет равно нулю в точке \(x=0\).

   В точке \(x=0\):

   • \( f(0) = e^0 = 1 \)
   • \( f'(0) = -2(0) e^0 = 0 \)
   • \( f''(0) = -2 e^0 (1 - 2(0)^2) = -2 \)

2. Теперь подставим найденные производные в ряд Маклорена. Следующие члены ряда включают только значения четных производных:

   \[ f(x) = 1 - \frac{2}{2!} x^2 + \ldots \]

   \[ f(x) = 1 - x^2 + \ldots \]

   Коэффициент при \( x^2 \) — это коэффициент при третьем слагаемом. Таким образом, коэффициент при \( x^2 \) равен \( -1 \). Третий член ряда — это: \( - \frac{1x^2}{2} \).

   Правильный ответ: - \( \boxed{-1} \)