Найти фундаментальную систему решений

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дано дифференциальное уравнение:
y'' - 3y' + 2y = 0

Шаг 1: Составим характеристическое уравнение

Запишем характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению:
\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0

Решим это квадратное уравнение:
\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0

Корни:
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2

Шаг 2: Запишем общее решение

Так как корни уравнения вещественные и различные, общее решение имеет вид:
y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}

Шаг 3: Определим фундаментальную систему решений

Фундаментальная система решений состоит из линейно независимых решений e^x и e^{2x}.

Сравним с предложенными вариантами:

1. \cos 2x, \sin 2x — не подходят, так как решения имеют экспоненциальный вид.
2. e^x \cos 2x, e^x \sin 2x — не подходят, так как такие функции появляются при комплексных корнях.
3. e^x, e^{2x} — подходят.
4. e^x, e^x \cos x — не подходят.

Ответ:

Фундаментальная система решений — вариант 3:
e^x, e^{2x}.