Найти экстремумы функции x^3+y^3-15*x*y

Для того чтобы найти экстремумы функции \( z = x^3 + y^3 - 15xy \), необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти частные производные

Экстремумы функции нескольких переменных находятся при условии, что все частные производные равны нулю. Найдём частные производные функции \( z \) по переменным \( x \) и \( y \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 15y \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 15x \]

Шаг 2: Найти критические точки

Решим систему уравнений, приравняв частные производные к нулю:

\[ 3x^2 - 15y = 0 \]

\[ 3y^2 - 15x = 0 \]

Упростим уравнения:

\[ x^2 - 5y = 0 \quad \text{(1)} \]

\[ y^2 - 5x = 0 \quad \text{(2)} \]

Решим систему уравнений. Из уравнения (1) выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = \frac{x^2}{5} \quad \text{(3)} \]

Подставим (3) в уравнение (2):

\[ \left( \frac{x^2}{5} \right)^2 - 5x = 0 \]

\[ \frac{x^4}{25} - 5x = 0 \]

Умножим на 25, чтобы убрать знаменатель:

\[ x^4 - 125x = 0 \]

Вынесем \( x \) за скобку:

\[ x(x^3 - 125) = 0 \]

Таким образом, возможные значения \( x \):

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^3 = 125 \]

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 5 \]

Подставим эти значения \( x \) в уравнение (3), чтобы найти соответствующие \( y \):

• Если \( x = 0 \): \[ y = \frac{0^2}{5} = 0 \]
• Если \( x = 5 \): \[ y = \frac{5^2}{5} = 5 \]

Таким образом, мы получили две критические точки: \( (0, 0) \) и \( (5, 5) \).

Шаг 3: Исследовать вторые производные

Для проверки природы этих критических точек, необходимо использовать критерий Сильвестра, который основан на исследовании вторых производных. Найдём вторые частные производные функции \( z \):

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x \]

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 6y \]

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -15 \]

При помощи вторых производных составим матрицу Гессе \( H \) в точках \( (0, 0) \) и \( (5, 5) \).

Для точки \( (0, 0) \):

\[ H(0, 0) = \begin{vmatrix} 6 \cdot 0 & -15 \\ -15 & 6 \cdot 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & -15 \\ -15 & 0 \end{vmatrix} \]

Определитель:

\[ \text{det}(H(0, 0)) = 0 \cdot 0 - (-15)^2 = -225 < 0 \]

Поскольку определитель матрицы Гессе в точке \( (0, 0) \) отрицателен, то эта точка является седловой точкой.

Для точки \( (5, 5) \):

\[ H(5, 5) = \begin{vmatrix} 6 \cdot 5 & -15 \\ -15 & 6 \cdot 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 30 & -15 \\ -15 & 30 \end{vmatrix} \]

Определитель:

\[ \text{det}(H(5, 5)) = 30 \cdot 30 - (-15)^2 = 900 - 225 = 675 > 0 \]

Так как определитель положителен и \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} (5, 5) = 30 > 0 \), то точка \( (5, 5) \) является точкой минимума.

Ответ:

Экстремумы функции \( z = x^3 + y^3 - 15xy \) находятся в:

• \( (0, 0) \) является седловой точкой;
• \( (5, 5) \) является точкой минимума.