Найти dy/dx, если x=ln t , у =t^2 - 1.

Предмет: Математика

Раздел предмета: Дифференциальное исчисление

Для решения задачи необходимо найти производную \( \frac{dy}{dx} \) по заданным функциям \( x \) и \( y \). Таким образом, мы используем метод дифференцирования параметрических уравнений.

Даны:

\[ x = \ln t \]

\[ y = t^2 - 1 \]

Шаги для решения:

1. Найти \( \frac{dx}{dt} \):

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\ln t) \]

Производная натурального логарифма \( \ln t \) равна \( \frac{1}{t} \):

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} \]

2. Найти \( \frac{dy}{dt} \):

\[ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 1) \]

Производная \( t^2 \) равна \( 2t \), а константа исчезает:

\[ \frac{dy}{dt} = 2t \]

3. Найти \( \frac{dy}{dx} \) используя цепное правило:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \]

Подставим найденные производные:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{2t}{\frac{1}{t}} \]

Упростим выражение:

\[ \frac{dy}{dx} = 2t \cdot t = 2t^2 \]

Таким образом, производная \( \frac{dy}{dx} \) равна \( 2t^2 \).