Найти длину вектор-градиента функции z в точке

Условие:

Найти длину вектор-градиента функции z в точке


Решение:

Задание из области высшей математики. Рассмотрим заданные номера 6, 7 и 8:
Задание 6: Вычислить определенный интеграл:
\[053xx2+4dx\]

Чтобы решить этот интеграл, сначала сделаем замену переменной \(u=x2+4\). Тогда \(du=2xdx\) или \(dx=du2x\). Теперь пересчитаем пределы интегрирования:

  • Когда \(x=0\), то \(u=0+4=4\).
  • Когда \(x=5\), то \(u=5+4=9\).

Подставим замену и перепишем интеграл: \[493xudu2x\]

Теперь вернемся к элементам, которые упростились: У нас остается \(3x\) и \(x\). Мы знаем, что\(u=x2+4\), значит: \[x=u4\] И тогда \(3x=3u4=3u12\) Интеграл становится:\[493u12udu2u4\] Это выглядит слишком сложно без дальнейших упрощений или использования специальных функций. Этот интеграл можно вычислить численно, либо обратиться к таблице интегралов с особенными формулами.

Задание 7:

Найти частную производную функции по \(x\):

\[z=x2+3xyy2\]

в точке \(M(2,1)\). Частная производная функции по \(x\) есть частное изменение функции по переменной \(x\). \[zx=x(x2+3xyy2)\] Возьмем производную по x: \[zx=x(x2)+x(3xy)x(y2)\] \[zx=2x+3y\] Теперь подставим значения точки \(M(2,1)\): \[zx|(2,1)=22+31=4+3=7\]

Задание 8:

Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми:

\[x=0,x=2,y=0,y=x+4\]

Построим область интегрирования. Площадь можно найти по следующему определенному интегралу: \[02((x+4)0)dx\] Теперь рассчитаем пределы интеграции: \[02(x+4)dx\] Произведем интегрирование: \[=[x22+4x]02=(222+42)(022+40)\] \[=(2+8)0=10\] Ответ: площадь фигуры равна 10.

Все задачи решены, объяснения прилагаются.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут