Задание из области высшей математики. Рассмотрим заданные номера 6, 7 и 8:
Задание 6: Вычислить определенный интеграл:
Чтобы решить этот интеграл, сначала сделаем замену переменной . Тогда или . Теперь пересчитаем пределы интегрирования:
- Когда , то .
- Когда , то .
Подставим замену и перепишем интеграл:
Теперь вернемся к элементам, которые упростились:
У нас остается и . Мы знаем, что, значит: И тогда
Интеграл становится: Это выглядит слишком сложно без дальнейших упрощений или использования специальных функций.
Этот интеграл можно вычислить численно, либо обратиться к таблице интегралов с особенными формулами.
Задание 7:
Найти частную производную функции по :
в точке .
Частная производная функции по есть частное изменение функции по переменной .
Возьмем производную по x:
Теперь подставим значения точки :
Задание 8:
Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми:
Построим область интегрирования. Площадь можно найти по следующему определенному интегралу:
Теперь рассчитаем пределы интеграции:
Произведем интегрирование:
Ответ: площадь фигуры равна 10.
Все задачи решены, объяснения прилагаются.