Найти дифференциал функции, заданной уравнением

Определение предмета и раздела

Этот вопрос относится к предмету математический анализ, раздел — дифференцирование неявных функций.

Задача: Найти дифференциал функции, заданной уравнением: \[ \sec(x) \cdot \cos(y) = C, \] где \(C\) — постоянная величина.

Решение

1. Запишем исходное уравнение: \[ \sec(x) \cdot \cos(y) = C. \]
2. Продифференцируем уравнение по \(x\):

   Для дифференцирования используем правило произведения \(u \cdot v\)'\) и применяем цепное правило.

   \[ \frac{d}{dx} \big( \sec(x) \cdot \cos(y) \big) = \frac{d}{dx}(C). \]

   Правая часть равняется нулю (так как \(C\) — константа):

   \[ \frac{d}{dx} ( \sec(x) \cdot \cos(y) ) = 0. \]
3. Дифференцируем левую часть:

   Используем правило произведения:

   \[ \frac{d}{dx} (\sec(x) \cdot \cos(y)) = \frac{d}{dx} (\sec(x)) \cdot \cos(y) + \sec(x) \cdot \frac{d}{dx} (\cos(y)). \]

   По очереди дифференцируем:

   • Производная \(\sec(x)\): \[ \frac{d}{dx} (\sec(x)) = \sec(x) \cdot \tan(x). \] Тогда первая часть равна: \[ \sec(x) \cdot \tan(x) \cdot \cos(y). \]
   • Производная \(\cos(y)\):

     Для этого используем цепное правило:

     \[ \frac{d}{dx} (\cos(y)) = -\sin(y) \cdot \frac{dy}{dx}. \] Тогда вторая часть равна: \[ -\sec(x) \cdot \sin(y) \cdot \frac{dy}{dx}. \]

   Суммируем две части:

   \[ \sec(x) \cdot \tan(x) \cdot \cos(y) - \sec(x) \cdot \sin(y) \cdot \frac{dy}{dx} = 0. \]
4. Упростим уравнение:

   Вынесем общий множитель \(\sec(x)\):

   \[ \sec(x) \big( \tan(x) \cdot \cos(y) - \sin(y) \cdot \frac{dy}{dx} \big) = 0. \]

   Так как \(\sec(x) \neq 0\), получаем:

   \[ \tan(x) \cdot \cos(y) - \sin(y) \cdot \frac{dy}{dx} = 0. \]
5. Выразим \(\frac{dy}{dx}\):

   Переносим \(\tan(x) \cdot \cos(y)\) в правую часть:

   \[ -\sin(y) \cdot \frac{dy}{dx} = -\tan(x) \cdot \cos(y). \]

   Делим обе части на \(-\sin(y)\):

   \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\tan(x) \cdot \cos(y)}{\sin(y)}. \]
6. Упростим конечный результат: \[ \frac{dy}{dx} = \tan(x) \cdot \cot(y). \]

Ответ:

Дифференциал функции: \[ \frac{dy}{dx} = \tan(x) \cdot \cot(y). \]

Учтём, что \( \frac{\cos(y)}{\sin(y)} = \cot(y) \), тогда: