Найти дифференциал функции, заданной уравнением

Определение предмета и раздела

Этот вопрос относится к предмету математический анализ, раздел — дифференцирование неявных функций.

Задача: Найти дифференциал функции, заданной уравнением: $\text{[}\sec (x)\cdot \cos (y)=C,\text{]}$ где $\text{(}C\text{)}$ — постоянная величина.

Решение

1. Запишем исходное уравнение: $\text{[}\sec (x)\cdot \cos (y)=C.\text{]}$
2. Продифференцируем уравнение по $\text{(}x\text{)}$:

   Для дифференцирования используем правило произведения $\text{(}u\cdot v{\text{)}}^{\prime }\text{)}$ и применяем цепное правило.

   $\text{[}\frac{d}{dx}(\sec (x)\cdot \cos (y))=\frac{d}{dx}(C).\text{]}$

   Правая часть равняется нулю (так как $\text{(}C\text{)}$ — константа):

   $\text{[}\frac{d}{dx}(\sec (x)\cdot \cos (y))=0.\text{]}$
3. Дифференцируем левую часть:

   Используем правило произведения:

   $\text{[}\frac{d}{dx}(\sec (x)\cdot \cos (y))=\frac{d}{dx}(\sec (x))\cdot \cos (y)+\sec (x)\cdot \frac{d}{dx}(\cos (y)).\text{]}$

   По очереди дифференцируем:

   • Производная $\text{(}\sec (x)\text{)}$: $\text{[}\frac{d}{dx}(\sec (x))=\sec (x)\cdot \tan (x).\text{]}$ Тогда первая часть равна: $\text{[}\sec (x)\cdot \tan (x)\cdot \cos (y).\text{]}$
   • Производная $\text{(}\cos (y)\text{)}$:

     Для этого используем цепное правило:

     $\text{[}\frac{d}{dx}(\cos (y))=-\sin (y)\cdot \frac{dy}{dx}.\text{]}$ Тогда вторая часть равна: $\text{[}-\sec (x)\cdot \sin (y)\cdot \frac{dy}{dx}.\text{]}$

   Суммируем две части:

   $\text{[}\sec (x)\cdot \tan (x)\cdot \cos (y)-\sec (x)\cdot \sin (y)\cdot \frac{dy}{dx}=0.\text{]}$
4. Упростим уравнение:

   Вынесем общий множитель $\text{(}\sec (x)\text{)}$:

   $\text{[}\sec (x)(\tan (x)\cdot \cos (y)-\sin (y)\cdot \frac{dy}{dx})=0.\text{]}$

   Так как $\text{(}\sec (x)\ne 0\text{)}$, получаем:

   $\text{[}\tan (x)\cdot \cos (y)-\sin (y)\cdot \frac{dy}{dx}=0.\text{]}$
5. Выразим $\text{(}\frac{dy}{dx}\text{)}$:

   Переносим $\text{(}\tan (x)\cdot \cos (y)\text{)}$ в правую часть:

   $\text{[}-\sin (y)\cdot \frac{dy}{dx}=-\tan (x)\cdot \cos (y).\text{]}$

   Делим обе части на $\text{(}-\sin (y)\text{)}$:

   $\text{[}\frac{dy}{dx}=\frac{\tan (x)\cdot \cos (y)}{\sin (y)}.\text{]}$
6. Упростим конечный результат: $\text{[}\frac{dy}{dx}=\tan (x)\cdot \cot (y).\text{]}$

Ответ:

Дифференциал функции: $\text{[}\frac{dy}{dx}=\tan (x)\cdot \cot (y).\text{]}$

Учтём, что $\text{(}\frac{\cos (y)}{\sin (y)}=\cot (y)\text{)}$, тогда: