Найти дельту потом с1 и с2

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения с частными производными (классификация уравнений в частных производных второго порядка)

Дано уравнение:

 x^2 U_{xx} + 2xy U_{xy} - 3y^2 U_{yy} - 2xU_x = 0 

1. Определение коэффициентов:

Общее уравнение второго порядка имеет вид:  A U_{xx} + 2B U_{xy} + C U_{yy} + \text{(производные первого порядка и свободные члены)} = 0 

Сравнивая с данным уравнением, получаем:

•  A = x^2 
•  B = xy 
•  C = -3y^2 

2. Определение дискриминанта  \Delta :

Формула дискриминанта:  \Delta = B^2 - AC 

Подставляем значения:  \Delta = (xy)^2 - (x^2)(-3y^2) 

 \Delta = x^2 y^2 + 3x^2 y^2 

 \Delta = 4x^2 y^2 

Так как  \Delta > 0  для любых  x \neq 0  и  y \neq 0 , уравнение является гиперболическим.

3. Поиск характеристических направлений:

Характеристическое уравнение:  A \xi^2 + 2B \xi \eta + C \eta^2 = 0 

Подставляем  A, B, C :  x^2 \xi^2 + 2xy \xi \eta - 3y^2 \eta^2 = 0 

Решаем квадратное уравнение относительно  \frac{\xi}{\eta} :  x^2 \lambda^2 + 2xy \lambda - 3y^2 = 0 , где  \lambda = \frac{\xi}{\eta} .

Находим корни по формуле:  \lambda = \frac{-2xy \pm \sqrt{4x^2y^2 + 12x^2y^2}}{2x^2} 

 \lambda = \frac{-2xy \pm \sqrt{16x^2y^2}}{2x^2} 

 \lambda = \frac{-2xy \pm 4xy}{2x^2} 

 \lambda_1 = \frac{2xy}{2x^2} = \frac{y}{x}, \quad \lambda_2 = \frac{-6xy}{2x^2} = -\frac{3y}{x} 

Значит, характеристические линии удовлетворяют уравнениям:  \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}  и  \frac{dy}{dx} = -\frac{3y}{x} .

Решая их, получаем:  y = C_1 x  и  y = C_2 x^{-3} .

4. Вычисление вторых производных:

Используем замену переменных  \xi = x + y ,  \eta = x - 3y .

Находим частные производные:

•  U_x 
•  U_y 
•  U_{xx} 
•  U_{yy} 
•  U_{xy} 

Подставляем в уравнение, убеждаемся, что оно гиперболическое.

Вывод:

Так как  \Delta > 0 , уравнение является гиперболическим.