Найти число произвольных постоянных

Это задание по математике, раздел "Дифференциальные уравнения".

Задание: Определить число произвольных постоянных в общем решении дифференциального уравнения \( y^{(3)} - 6y'' + 9y' = 0 \).

Для начала, рассмотрим уравнение: \[ y^{(3)} - 6y'' + 9y' = 0 \] Это линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Общие решения таких уравнений зависят от корней характеристического уравнения.

1. Составление характеристического уравнения: Для уравнения вида \( y^{(3)} - 6y'' + 9y' = 0 \) характеристическое уравнение имеет вид: \[ r^3 - 6r^2 + 9r = 0 \]
2. Решение характеристического уравнения: Для нахождения корней решим характеристическое уравнение: \[ r^3 - 6r^2 + 9r = r(r^2 - 6r + 9) = 0 \] Теперь разложим квадратный трехчлен: \[ r^2 - 6r + 9 = (r - 3)^2 = 0 \] Соответственно: \[ r(r - 3)^2 = 0 \] Таким образом, корни характеристического уравнения: \[ r_1 = 0 \] \[ r_2 = r_3 = 3 \] (двукратный корень)
3. Построение общего решения: Поскольку корень \( r = 3 \) является двукратным, функции решения будут выглядеть следующим образом: \[ y_1 = e^{0 \cdot x} = 1 \] \[ y_2 = e^{3x} \] \[ y_3 = xe^{3x} \] Поэтому общее решение однородного уравнения: \[ y(x) = C_1 + C_2 e^{3x} + C_3 xe^{3x} \]
4. Число произвольных постоянных: В данном случае решение содержит три произвольных постоянных \( C_1, C_2, C_3 \).

Ответ: Число произвольных постоянных равно 3.