Найти численное решение с шагом h = 0,1 методом конечных разностей

Определение предмета и раздела

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел предмета: Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Конкретнее — метод конечных разностей для решения краевых задач.

Объяснение задачи

У нас есть краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка: \[ y'' - 3y' + \frac{y}{x} = 1, \] с граничными условиями: \[ y'(0,4) = 2, \quad y'(0,7) = 0,7. \]

Требуется найти численное решение с шагом \( h = 0,1 \) методом конечных разностей.

Шаг 1: Дискретизация области

Выберем дискретные точки между 0,4 и 0,7 с шагом \( h = 0,1 \). Это точки: \[ x_0 = 0,4,\ x_1 = 0,5,\ x_2 = 0,6,\ x_3 = 0,7. \] Для этих значений \( x \) будем приближенно решать задачу.

Шаг 2: Приближение производных методом конечных разностей

Для аппроксимации второй производной \( y'' \) используем центральную разностную формулу: \[ y''(x_i) \approx \frac{y_{i-1} - 2y_i + y_{i+1}}{h^2}. \]

Для первой производной \( y' \) используем центральную разностную формулу: \[ y'(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h}. \]

Шаг 3: Разностная схема

Наше уравнение приобретает следующий вид после подстановки разностных аппроксимаций: \[ \frac{y_{i-1} - 2y_i + y_{i+1}}{h^2} - 3 \times \left(\frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h}\right) + \frac{y_i}{x_i} = 1. \]

Подставим \( h = 0,1 \) и составим систему уравнений для точек \( x_1, x_2 \).

Шаг 4: Граничные условия

Граничные условия:

1. \( y'(0,4) = 2 \), это означает: \[ \frac{y_1 - y_0}{0,1} = 2 \quad \Rightarrow \quad y_1 = y_0 + 0,2. \]
2. \( y'(0,7) = 0,7 \), это означает: \[ \frac{y_3 - y_2}{0,1} = 0,7 \quad \Rightarrow \quad y_3 = y_2 + 0,07. \]

Шаг 5: Заполнение таблицы в Excel

1. Вставляем 5 строк:
   • \( x_0 = 0,4 \),
   • \( x_1 = 0,5 \),
   • \( x_2 = 0,6 \),
   • \( x_3 = 0,7 \).
2. Вводим известные значения \( y'_0 = 2 \) и \( y'_3 = 0,7 \).
3. Для каждой точки составляем систему уравнений, используя разностные формулы, и решаем систему численно.

Шаг 6: Решение в Excel

1. Заносим в таблицу значения \( x \) и приближения \( y \).
2. Используем основной метод решения систем уравнений, например, метод Гаусса или итерационный метод (вручную или через встроенные функции Excel типа ПОИСКРЕШЕНИЯ).
3. Примерные этапы:
   • Ввод уравнений для каждой точки.
   • Использование угаданных начальных приближений.
   • Применение итерационного подхода для получения решений.

Если правильно все настроить в Excel, можно найти значения функции \( y(x) \) на всех промежуточных точках \( x_1, x_2, \dots \).