Найти частные решения уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям:yy’+x=0

Определение предмета и раздела: Данное задание относится к курсу математики, а конкретнее — к разделу дифференциальных уравнений первого порядка.

Входные данные:

Заданное дифференциальное уравнение: \[ y \frac{dy}{dx} + x = 0 \]

Необходимо найти частные решения данного уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.

Решение:

Шаг 1: Перепишем уравнение в более удобной форме:

Данное уравнение можно переписать следующим образом: \[ y \frac{dy}{dx} = -x \] Эта форма является уравнением с разделяющимися переменными, которое можно решить методом разделения переменных.

Шаг 2: Разделяем переменные:

Для решения уравнения нам нужно разделить переменные \(x\) и \(y\) по разные стороны от знака равенства. Перепишем уравнение следующим образом: \[ y \, dy = -x \, dx \]

Шаг 3: Интегрируем обе стороны:

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения. Интегрируем левую часть по \(y\): \[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \] И интегрируем правую часть по \(x\): \[ \int -x \, dx = -\frac{x^2}{2} \] Таким образом, после интегрирования у нас получается: \[ \frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C, \] где \(C\) — константа интегрирования.

Шаг 4: Упростим полученное уравнение:

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ y^2 = -x^2 + 2C \] Или перепишем в виде: \[ y^2 + x^2 = 2C \] Это уравнение окружности с радиусом \(\sqrt{2C}\).

Шаг 5: Выразим \(C\) через начальные условия:

Для нахождения конкретного частного решения нам нужны начальные условия. Однако в данной задаче начальные условия не указаны. После их уточнения, можно подставить начальные значения \(x_0\) и \(y_0\) в уравнение \[y^2 + x^2 = 2C\] и найти значение \(C\). После этого можно найти конечное решение. Таким образом, общее решение уравнения вида: \[ y^2 + x^2 = 2C\]