Найти частные решения если у(1)=е^2, у’(1)=0

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Задание:

Дано общее решение дифференциального уравнения: y = e^{2x}(C_1 + C_2 x)

Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию: y(1) = e^2,
y'(1) = 0

Шаг 1: Найдём производную функции y

Дано: y = e^{2x}(C_1 + C_2 x)

Применим правило производной произведения:

 y' = \frac{d}{dx}[e^{2x}(C_1 + C_2 x)] = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(C_1 + C_2 x) + (C_1 + C_2 x) \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x}) 

 y' = e^{2x} \cdot C_2 + (C_1 + C_2 x) \cdot 2e^{2x} 

Вынесем e^{2x} за скобку:

 y' = e^{2x} \left(C_2 + 2(C_1 + C_2 x)\right) = e^{2x} \left(2C_1 + C_2 + 2C_2 x\right) 

Запишем: y' = e^{2x}(2C_1 + C_2 + 2C_2 x)

Шаг 2: Подставим начальные условия

Условие 1: y(1) = e^2

Подставим в общее решение: y(1) = e^{2 \cdot 1}(C_1 + C_2 \cdot 1) = e^2(C_1 + C_2)

Приравниваем: e^2(C_1 + C_2) = e^2

Разделим обе части на e^2: C_1 + C_2 = 1 — (уравнение ①)

Условие 2: y'(1) = 0

Подставим в выражение для производной:

y'(1) = e^{2 \cdot 1}(2C_1 + C_2 + 2C_2 \cdot 1) = e^2(2C_1 + C_2 + 2C_2) = e^2(2C_1 + 3C_2)

Приравниваем к нулю: e^2(2C_1 + 3C_2) = 0

Разделим обе части на e^2: 2C_1 + 3C_2 = 0 — (уравнение ②)

Шаг 3: Решим систему уравнений

У нас есть система:

1. C_1 + C_2 = 1
2. 2C_1 + 3C_2 = 0

Решим методом подстановки.

Из уравнения ①: C_1 = 1 - C_2

Подставим в уравнение ②:

2(1 - C_2) + 3C_2 = 0

2 - 2C_2 + 3C_2 = 0

2 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = -2

Теперь найдём C_1:

C_1 = 1 - (-2) = 3

Шаг 4: Подставим найденные значения в общее решение

y = e^{2x}(3 - 2x)

Ответ:

Частное решение уравнения:
y = e^{2x}(3 - 2x)