Найти частные решение уравнении,удовлетворяющих указанным начальным условиям

Это задача на решение дифференциального уравнения первого порядка. Предмет — математический анализ, а раздел — дифференциальные уравнения. Данное уравнение:

1) $\text{(}ydy=xdx\text{)}$

Начальные условия: $\text{(}y=4\text{)}$ при $\text{(}x=8\text{)}$

Шаг 1: Разделим переменные

Написанное уравнение уже содержит переменные, которые можно разделить: $\text{[}ydy=xdx\text{]}$

Обе стороны уравнения можно проинтегрировать: $\text{[}\int ydy=\int xdx\text{]}$

Шаг 2: Интегрируем обе стороны

$\text{[}\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C,\text{]}$ где $\text{(}C\text{)}$ — постоянная интегрирования.

Теперь можем умножить обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей: $\text{[}{y}^2=x^2+2C.\text{]}$

Шаг 3: Найдем частное решение, используя начальные условия

Используем начальные условия $\text{(}y=4\text{)}$ при $\text{(}x=8\text{)}$, чтобы найти стоймость $\text{(}C\text{)}$. Подставляем это в уравнение:

$\text{[}{4}^2=8^2+2C,\text{]}$ $\text{[}16=64+2C,\text{]}$ $\text{[}2C=16-64,\text{]}$ $\text{[}2C=-48,\text{]}$ $\text{[}C=-24.\text{]}$

Шаг 4: Запишем частное решение

Теперь подставим значение константы $\text{(}C\text{)}$ в уравнение: $\text{[}{y}^2=x^2-48.\text{]}$ Это и есть общее решение задачи.