Найти частные решение уравнении,удовлетворяющих указанным начальным условиям

Это задача на решение дифференциального уравнения первого порядка. Предмет — математический анализ, а раздел — дифференциальные уравнения. Данное уравнение:

1) \( y \, dy = x \, dx \)

Начальные условия: \( y = 4 \) при \( x = 8 \)

Шаг 1: Разделим переменные

Написанное уравнение уже содержит переменные, которые можно разделить: \[ y \, dy = x \, dx \]

Обе стороны уравнения можно проинтегрировать: \[ \int y \, dy = \int x \, dx \]

Шаг 2: Интегрируем обе стороны

\[ \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C, \] где \( C \) — постоянная интегрирования.

Теперь можем умножить обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей: \[ y^2 = x^2 + 2C. \]

Шаг 3: Найдем частное решение, используя начальные условия

Используем начальные условия \( y = 4 \) при \( x = 8 \), чтобы найти стоймость \( C \). Подставляем это в уравнение:

\[ 4^2 = 8^2 + 2C, \] \[ 16 = 64 + 2C, \] \[ 2C = 16 - 64, \] \[ 2C = -48, \] \[ C = -24. \]

Шаг 4: Запишем частное решение

Теперь подставим значение константы \( C \) в уравнение: \[ y^2 = x^2 - 48. \] Это и есть общее решение задачи.