Найти частные производные в функции двух переменных

Это задание относится к предмету математика, а именно к дифференциальному исчислению, поскольку в этом примере рассматриваются функции двух переменных, и, вероятно, нужно найти частные производные.

Рассмотрим уравнение:

Z = 2xy \cdot \sqrt{x^2 + 3y^2 - 1}

Чтобы решить задание, которое, скорее всего, предполагает нахождение частных производных функции Z(x, y) по переменным x и y, начнем с вывода частных производных функции.

1. Частная производная функции Z по x.

Для этого воспользуемся правилом произведения и правилом дифференцирования сложных функций. Обозначим функцию в виде произведения двух функций:

Z(x, y) = u(x, y) \cdot v(x, y),

где

u(x, y) = 2xy,

v(x, y) = \sqrt{x^2 + 3y^2 - 1}.

Теперь найдем частную производную по x для каждой из этих функций:

1. Частная производная u(x, y) по x:

\(\frac{\partial}{\partial x} (2xy) = 2y.\)

2. Частная производная v(x, y) по x:

Используем цепное правило. Сначала возьмем производную от внешней функции \(\sqrt{f(x, y)}\):

\(\frac{d}{dx} \left( \sqrt{f(x,y)} \right) = \frac{1}{2\sqrt{f(x, y)}} \cdot \frac{d}{dx} (f(x, y)).\)

Теперь найдем производную внутренней функции f(x, y) = x^2 + 3y^2 - 1 по x:

\(\frac{\partial}{\partial x} (x^2 + 3y^2 - 1) = 2x.\)

Теперь объединим результаты:

\(\frac{\partial v(x, y)}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 3y^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3y^2 - 1}}.\)

Теперь находим полную частную производную Z по x с учетом правила произведения:

\(\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot v + u \cdot \frac{\partial v}{\partial x}.\)

Подставляем:

\(\frac{\partial Z}{\partial x} = 2y \cdot \sqrt{x^2 + 3y^2 - 1} + 2xy \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3y^2 - 1}}.\)

2. Частная производная функции Z по y.

Аналогично находим производную по y:

1. Частная производная u(x, y) по y:

\(\frac{\partial}{\partial y} (2xy) = 2x.\)

2. Найдем частную производную v(x, y) по y:

Снова воспользуемся цепным правилом. Производная внутренней функции x^2 + 3y^2 - 1 по y:

\(\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 3y^2 - 1) = 6y.\)

Тогда:

\(\frac{\partial v(x, y)}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6y}{\sqrt{x^2 + 3y^2 - 1}} = \frac{3y}{\sqrt{x^2 + 3y^2 - 1}}.\)

Теперь находим полную частную производную Z по y:

\(\frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} \cdot v + u \cdot \frac{\partial v}{\partial y}.\)

Подставляем:

\(\frac{\partial Z}{\partial y} = 2x \cdot \sqrt{x^2 + 3y^2 - 1} + 2xy \cdot \frac{3y}{\sqrt{x^2 + 3y^2 - 1}}.\)

Ответ:

В этом задании мы нашли частные производные функции Z(x, y) по обеим переменным:

\(\frac{\partial Z}{\partial x} = 2y \cdot \sqrt{x^2 + 3y^2 - 1} + 2xy \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3y^2 - 1}},\)

\(\frac{\partial Z}{\partial y} = 2x \cdot \sqrt{x^2 + 3y^2 - 1} + 2xy \cdot \frac{3y}{\sqrt{x^2 + 3y^2 - 1}}.\)