Найти частные производные первого порядка в точке М(3;2)

Этот вопрос относится к предмету "математический анализ", а именно к его разделу "дифференциальное исчисление функции нескольких переменных". Мы имеем функцию \( z = \sqrt[3]{2y^2} - x^2 \). Необходимо найти частные производные первого порядка в точке \( M(3, 2) \).

Шаг 1: Найдем частную производную по \( x \)

Функция \( z \) записана как: \[ z = \sqrt[3]{2y^2} - x^2 \]

Частная производная по \( x \) (обозначается \( \frac{\partial z}{\partial x} \)) рассчитывается путем дифференцирования \( z \) по \( x \), при этом \( y \) считается константой. Для функции: \[ z = \sqrt[3]{2y^2} - x^2 \]

Частная производная \( \frac{\partial z}{\partial x} \) равна: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \sqrt[3]{2y^2} - x^2 \right) \]

Поскольку \( \sqrt[3]{2y^2} \) является константой в отношении \( x \), её производная будет нулевая. Поэтому: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 0 - \frac{\partial}{\partial x} (x^2) = -2x \]

Теперь подставим значение \( x = 3 \): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(3,2) = -2 \cdot 3 = -6 \]

Шаг 2: Найдем частную производную по \( y \)

Частная производная по \( y \) (обозначается как \( \frac{\partial z}{\partial y} \)) рассчитывается путем дифференцирования \( z \) по \( y \), при этом \( x \) считается константой. Для функции: \[ z = \sqrt[3]{2y^2} - x^2 \]

Частная производная \( \frac{\partial z}{\partial y} \) равна: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \sqrt[3]{2y^2} - x^2 \right) \]

Производная от \(-x^2\) по \( y \) равна нулю, поэтому: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \sqrt[3]{2y^2} \right) \]

Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ \frac{d}{dy} \left( \sqrt[3]{2y^2} \right) = \frac{1}{3} (2y^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{d}{dy} (2y^2) = \frac{1}{3} (2y^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 4y = \frac{4y}{3} \cdot (2y^2)^{-\frac{2}{3}} \]

Теперь подставим значение \( y = 2 \): \[ (2 \cdot 2^2)^{-\frac{2}{3}} = (8)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{1}{(8)^{\frac{2}{3}}} \right) \]

Помним, что \( 8 = 2^3 \), поэтому \( (8)^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \): \[ (8)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} \]

\[ \frac{4y}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 4} = \frac{2}{3} \]

Подставив значение \( y = 2 \) получим: \[ \frac{\partial z}{\partial y}(3,2) = \frac{2}{3} \]

Результат:

• Частная производная по \( x \) в точке \( (3,2) \) равна \( -6 \)
• Частная производная по \( y \) в точке \( (3,2) \) равна \( \frac{2}{3} \)