Найти частные производные первого и второго порядков функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Частные производные

Нам дана функция двух переменных:

z = (e^x) \cdot x \cdot \cos y

Нужно найти:

1. Частные производные первого порядка:

   • \frac{\partial z}{\partial x}
   • \frac{\partial z}{\partial y}

2. Частные производные второго порядка:

   • \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}
   • \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}
   • Смешанная частная производная: \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}

Шаг 1: Найдём \frac{\partial z}{\partial x}

Рассматриваем y как константу.
Функция: z = e^x \cdot x \cdot \cos y

Здесь \cos y — константа, можно вынести:

\frac{\partial z}{\partial x} = \cos y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x \cdot e^x)

Применим правило производной произведения:

\frac{d}{dx}(x \cdot e^x) = e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)

Итак:

\frac{\partial z}{\partial x} = \cos y \cdot e^x (1 + x)

Шаг 2: Найдём \frac{\partial z}{\partial y}

Рассматриваем x как константу.
Функция: z = e^x \cdot x \cdot \cos y

\frac{\partial z}{\partial y} = e^x \cdot x \cdot \frac{d}{dy}(\cos y) = -e^x \cdot x \cdot \sin y

Шаг 3: Найдём \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}

Берём производную от \frac{\partial z}{\partial x} по x:

\frac{\partial z}{\partial x} = \cos y \cdot e^x (1 + x)

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \cos y \cdot \frac{d}{dx}(e^x (1 + x))

Вновь применим правило производной произведения:

\frac{d}{dx}(e^x (1 + x)) = e^x(1 + x) + e^x = e^x(2 + x)

Итак:

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \cos y \cdot e^x (2 + x)

Шаг 4: Найдём \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}

Берём производную от \frac{\partial z}{\partial y} по y:

\frac{\partial z}{\partial y} = -e^x \cdot x \cdot \sin y

\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -e^x \cdot x \cdot \frac{d}{dy}(\sin y) = -e^x \cdot x \cdot \cos y

Шаг 5: Найдём смешанную производную \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}

Берём производную от \frac{\partial z}{\partial x} = \cos y \cdot e^x (1 + x) по y:

\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \cos y \cdot e^x (1 + x) \right)

e^x (1 + x) — константа по y, поэтому:

\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\sin y \cdot e^x (1 + x)

Ответ:

• \frac{\partial z}{\partial x} = \cos y \cdot e^x (1 + x)
• \frac{\partial z}{\partial y} = -x \cdot e^x \cdot \sin y
• \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \cos y \cdot e^x (2 + x)
• \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -x \cdot e^x \cdot \cos y
• \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\sin y \cdot e^x (1 + x)