Найти частные производные и полный дифференциал функции

Дана функция: \( z = \sqrt{xy} \). Найдем частные производные функции \( z \) по переменным \( x \) и \( y \):

Частная производная по \( x \) (\( \frac{\partial z}{\partial x} \)): \[ z = \sqrt{xy} = (xy)^{\frac{1}{2}} \] Используем правило дифференцирования степенной функции и правило производной произведения: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xy)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (xy)^{-\frac{1}{2}} \cdot y = \frac{y}{2\sqrt{xy}} \]
Частная производная по \( y \) (\( \frac{\partial z}{\partial y} \)): Аналогично вычислим частную производную по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (xy)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (xy)^{-\frac{1}{2}} \cdot x = \frac{x}{2\sqrt{xy}} \]

Теперь найдем полный дифференциал функции \( z \). Полный дифференциал функции двух переменных \( z = f(x,y) \) записывается следующим образом:

\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]

Подставим ранее найденные частные производные:

\[ dz = \frac{y}{2\sqrt{xy}} dx + \frac{x}{2\sqrt{xy}} dy \]

Таким образом, полный дифференциал функции \( z = \sqrt{xy} \) будет равен:

\[ dz = \frac{y}{2\sqrt{xy}} dx + \frac{x}{2\sqrt{xy}} dy \]

Время — это деньги!