Найти частные производные и полный дифференциал функции

Дана функция: $$z = \sqrt{x y} $$ . Найдем частные производные функции $$z $$ по переменным $$x $$ и $$y $$ :

Частная производная по $$x $$ ( $$\frac{\partial z}{\partial x} $$ ): $\[z = \sqrt{x y} = (x y)^{\frac{1}{2}} \]$ Используем правило дифференцирования степенной функции и правило производной произведения: $\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x y)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (x y)^{- \frac{1}{2}} \cdot y = \frac{y}{2 \sqrt{x y}} \]$
Частная производная по $$y $$ ( $$\frac{\partial z}{\partial y} $$ ): Аналогично вычислим частную производную по $$y $$ : $\[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x y)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (x y)^{- \frac{1}{2}} \cdot x = \frac{x}{2 \sqrt{x y}} \]$

Теперь найдем полный дифференциал функции $$z $$ . Полный дифференциал функции двух переменных $$z = f (x, y) $$ записывается следующим образом:

\[d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y \]

Подставим ранее найденные частные производные:

\[d z = \frac{y}{2 \sqrt{x y}} d x + \frac{x}{2 \sqrt{x y}} d y \]

Таким образом, полный дифференциал функции $$z = \sqrt{x y} $$ будет равен:

\[d z = \frac{y}{2 \sqrt{x y}} d x + \frac{x}{2 \sqrt{x y}} d y \]

Время — это деньги!