Найти частные производные функции

Предмет: Математика (дифференциальное исчисление).

Раздел предмета: Частные производные.

Задание: Найти частные производные функции \( F(x, y, z) = 0 \), причем необходимо определить \(\frac{\partial z}{\partial x}\) и \(\frac{\partial z}{\partial y}\). Рассмотрим 3.9 вариант:

\[ \ln(x^2 + y^2 + z^2) - 1 = 0. \]

Шаг 1: Преобразуем исходное уравнение

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

\[ \ln(x^2 + y^2 + z^2) = 1. \]

Теперь применим экспоненту к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от логарифма:

\[ x^2 + y^2 + z^2 = e^1 = e. \]

Шаг 2: Найдем частную производную по \(x\)

Нам нужно найти \(\frac{\partial z}{\partial x}\). Для этого воспользуемся правилом неявной дифференциации. Дифференцируем каждую часть уравнения \(x^2 + y^2 + z^2 = e\) по \(x\), помня, что \(z\) — функция от \(x\):

\[ \frac{d}{dx} (x^2) + \frac{d}{dx} (y^2) + \frac{d}{dx} (z^2) = \frac{d}{dx}(e). \]

Рассчитаем производные:

\[ 2x + 0 + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0, \]

где \( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \), \( \frac{d}{dx}(y^2) = 0 \) (так как \(y\) — константа по \(x\)), и \( \frac{d}{dx}(z^2) = 2z \frac{\partial z}{\partial x} \) по правилу цепочки.

Теперь решим это уравнение относительно \(\frac{\partial z}{\partial x}\):

\[ 2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0, \]

\[ 2z \frac{\partial z}{\partial x} = -2x, \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{z}. \]

Шаг 3: Найдем частную производную по \(y\)

Теперь найдем \(\frac{\partial z}{\partial y}\). Дифференцируем уравнение \( x^2 + y^2 + z^2 = e \) по \(y\), считая \(z\) как функцию от \(y\):

\[ \frac{d}{dy} (x^2) + \frac{d}{dy} (y^2) + \frac{d}{dy} (z^2) = \frac{d}{dy}(e). \]

Рассчитаем производные:

\[ 0 + 2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y} = 0, \]

где \( \frac{d}{dy}(x^2) = 0 \), \( \frac{d}{dy}(y^2) = 2y \), и \( \frac{d}{dy}(z^2) = 2z \frac{\partial z}{\partial y} \) по правилу цепочки.

\[ 2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y} = 0, \]

\[ 2z \frac{\partial z}{\partial y} = -2y, \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{z}. \]

Ответ:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{z}. \]

Решим это уравнение относительно \(\frac{\partial z}{\partial y}\):