Найти частное решения линейного однородного уравнения с начальными условиями

Предмет: Дифференциальные уравнения.

Раздел предмета: Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, решение которых осуществляется методом характеристического уравнения.

Нам дано: \[ y''' - 3y' + 2y = 0, \] с начальными условиями: \[ y(0) = 0, \quad y'(0) = 5, \quad y''(0) = 1. \]

1. Решим характеристическое уравнение.

Для такого уравнения вида \(y''' - 3y' + 2y = 0\) характеристическое уравнение будет: \[ r^3 - 3r + 2 = 0. \] Решаем кубическое уравнение методом разложения. Начнем с подбора корней. Подставим \( r = 1 \) в уравнение: \[ 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0. \] Таким образом, \( r_1 = 1 \) — корень уравнения. Разделим многочлен \( r^3 - 3r + 2 \) на \( r - 1 \) с помощью схемы Горнера или деления многочленов: \[ r^3 - 3r + 2 = (r - 1)(r^2 + r - 2). \] Теперь решим квадратное уравнение \( r^2 + r - 2 = 0 \) по дискриминанту: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \] \[ r_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \] Таким образом, \( r_2 = 1 \) и \( r_3 = -2 \).

2. Общее решение.

Так как у нас два совпадающих корня \( r_1 = r_2 = 1 \) и один простой корень \( r_3 = -2 \), общее решение уравнения будет иметь вид: \[ y(x) = (C_1 + C_2 x)e^x + C_3 e^{-2x}. \]

3. Используем начальные условия.

Условие 1: \( y(0) = 0 \)

\[ y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{0} + C_3 e^{0} = C_1 + C_3 = 0, \] \[ C_1 + C_3 = 0. \quad \text{(1)} \]

Условие 2: \( y'(0) = 5 \)

Найдем первую производную \( y'(x) \): \[ y'(x) = (C_1 + C_2 x)e^x + (C_2 + C_1 + C_2 x)e^x - 2 C_3 e^{-2x}. \] Подставляем \( x = 0 \): \[ y'(0) = (C_1 + C_2) e^0 + (C_2 + C_1) e^0 - 2C_3 e^0 = C_1 + C_2 + C_1 - 2C_3 = 5, \] \[ 2C_1 + C_2 - 2C_3 = 5. \quad \text{(2)} \]

Условие 3: \( y''(0) = 1 \)