Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка)

Дано дифференциальное уравнение:

y' - 2y = 3e^{-x}
с начальными условиями:
y(0) = 0

Нужно:

1. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию.
2. Вычислить y(1) с точностью ±0.005.

Шаг 1: Решим линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Уравнение имеет вид:

y' - 2y = 3e^{-x}

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Решим его методом интегрирующего множителя.

Общий вид:

y' + P(x)y = Q(x)

В нашем случае:

P(x) = -2, \quad Q(x) = 3e^{-x}

Интегрирующий множитель:

\mu(x) = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}

Умножим обе части уравнения на \mu(x):

e^{-2x} y' - 2e^{-2x} y = 3e^{-x} e^{-2x} = 3e^{-3x}

Левая часть — это производная произведения:

\frac{d}{dx}(e^{-2x} y) = 3e^{-3x}

Проинтегрируем обе части:

\int \frac{d}{dx}(e^{-2x} y) dx = \int 3e^{-3x} dx

e^{-2x} y = \int 3e^{-3x} dx = -e^{-3x} + C

Умножим обе части на e^{2x}:

y = -e^{-x} + C e^{2x}

Шаг 2: Найдём частное решение с начальным условием y(0) = 0

Подставим в общее решение:

y(0) = -e^{0} + C e^{0} = -1 + C = 0
C = 1

Итак, частное решение:

y(x) = -e^{-x} + e^{2x}

Шаг 3: Вычислим y(1)

y(1) = -e^{-1} + e^{2}

Вычислим численно:

• e^{-1} \approx 0.3679
• e^{2} \approx 7.3891

Тогда:

y(1) \approx -0.3679 + 7.3891 = 7.0212

Ответ:

Частное решение:

y(x) = -e^{-x} + e^{2x}

Значение:

y(1) \approx 7.021 \pm 0.005 ✅