Найти частное решение уравнения для каждого из следующих случаев правой части f(x)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами)

Задание:

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

2y'' + 5y' = f(x)

Найти частное решение этого уравнения для каждого из следующих случаев правой части f(x):

1. f(x) = 5x^2 - 2x - 1
2. f(x) = e^x
3. f(x) = 29\cos x

Общий подход:

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение состоит из двух частей:

1. Общее решение однородного уравнения: 2y'' + 5y' = 0

2. Частное решение неоднородного уравнения для каждой правой части f(x).

Шаг 1: Решим однородное уравнение

2y'' + 5y' = 0

Характеристическое уравнение:

2r^2 + 5r = 0

Вынесем r:

r(2r + 5) = 0

Корни:

r_1 = 0, r_2 = -\frac{5}{2}

Общее решение однородного уравнения:

y_{\text{общ}} = C_1 + C_2 e^{-5x/2}

Теперь найдём частные решения для каждого случая.

Случай 1: f(x) = 5x^2 - 2x - 1

Предположим частное решение в виде многочлена второго порядка:

y_{\text{ч}} = Ax^2 + Bx + C

Тогда:

y' = 2Ax + B
y'' = 2A

Подставим в уравнение:

2(2A) + 5(2Ax + B) = 5x^2 - 2x - 1

4A + 10Ax + 5B = 5x^2 - 2x - 1

Сравним коэффициенты:

• при x^2: 0 = 5 → противоречие!

Это значит, что нужно взять частное решение на степень выше, так как правая часть не может быть получена из производных выбранного многочлена. Попробуем:

y_{\text{ч}} = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D

Тогда:

y' = 3Ax^2 + 2Bx + C
y'' = 6Ax + 2B

Подставим:

2(6Ax + 2B) + 5(3Ax^2 + 2Bx + C) = 5x^2 - 2x - 1

12Ax + 4B + 15Ax^2 + 10Bx + 5C = 5x^2 - 2x - 1

Сгруппируем:

15Ax^2 + (12A + 10B)x + (4B + 5C) = 5x^2 - 2x - 1

Сравним коэффициенты:

• 15A = 5 → A = \frac{1}{3}
• 12A + 10B = -2
  → 12\cdot \frac{1}{3} + 10B = -2
  → 4 + 10B = -2
  → B = -\frac{3}{5}
• 4B + 5C = -1
  → 4\cdot (-\frac{3}{5}) + 5C = -1
  → - \frac{12}{5} + 5C = -1
  → 5C = \frac{7}{5}
  → C = \frac{7}{25}

Значит, частное решение:

y_{\text{ч}} = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + \frac{7}{25}x + D

(константа D может быть включена в общее решение)

Случай 2: f(x) = e^x

Предположим частное решение:

y_{\text{ч}} = Ae^x

Тогда:

y' = Ae^x, y'' = Ae^x

Подставим:

2Ae^x + 5Ae^x = 7Ae^x = e^x

→ 7A = 1 → A = \frac{1}{7}

Частное решение:

y_{\text{ч}} = \frac{1}{7}e^x

Случай 3: f(x) = 29\cos x

Предположим частное решение:

y_{\text{ч}} = A\cos x + B\sin x

Тогда:

y' = -A\sin x + B\cos x
y'' = -A\cos x - B\sin x

Подставим:

2(-A\cos x - B\sin x) + 5(-A\sin x + B\cos x) = 29\cos x

Раскроем:

-2A\cos x - 2B\sin x -5A\sin x + 5B\cos x = 29\cos x

Сгруппируем:

(-2A + 5B)\cos x + (-2B - 5A)\sin x = 29\cos x + 0\sin x

Сравним коэффициенты:

• -2A + 5B = 29
• -2B - 5A = 0

Решим систему:

Из второго уравнения:

-2B = 5A → B = -\frac{5}{2}A

Подставим в первое:

-2A + 5(-\frac{5}{2}A) = 29
-2A - \frac{25}{2}A = 29
-\frac{29}{2}A = 29
A = -2
B = -\frac{5}{2}(-2) = 5

Частное решение:

y_{\text{ч}} = -2\cos x + 5\sin x

Ответы:

1. y_{\text{ч}} = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + \frac{7}{25}x
2. y_{\text{ч}} = \frac{1}{7}e^x
3. y_{\text{ч}} = -2\cos x + 5\sin x

Общее решение каждого уравнения:
y = C_1 + C_2 e^{-5x/2} + y_{\text{ч}}