Найти частное решение уравнения

Это задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения", который является разделом математики. Тут требуется найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями. Дано уравнение: y'' - \frac{y'}{x-1} = x(x-1), с начальными условиями y(2) = 1 и y'(2) = 1. Для нахождения частного решения уравнения, сначала перепишем его в стандартной форме: y'' - \frac{y'}{x-1} = x^2 - x. Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью x^2 - x.

Рассмотрим сначала однородное уравнение: y'' - \frac{y'}{x-1} = 0. Ищем решение методом характеристического уравнения. Пусть y = (x-1)^m. Тогда: y' = m(x-1)^{m-1} y'' = m(m-1)(x-1)^{m-2} Подставим их в уравнение: m(m-1)(x-1)^{m-2} - \frac{m(x-1)^{m-1}}{x-1} = 0 Упростим: m(m-1)(x-1)^{m-2} - m(x-1)^{m-2} = 0 m(m-1) - m = 0 m^2 - 2m = 0 m(m-2) = 0 Значит, m = 0 или m = 2. Общее решение однородного уравнения: y_h = C_1 + C_2(x-1)^2.

Рассмотрим частное решение неоднородного уравнения. Для этого воспользуемся методом неопределенных коэффициентов и ищем частное решение в виде: y_p = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E. Подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x с обеих сторон уравнения. В итоге частное решение будет иметь вид: y_p = \frac{x^4}{8} + \frac{x^3}{6} - \frac{3x^2}{2} + 3x + \frac{1}{3}.

Итак, общее решение уравнения: y = y_h + y_p = C_1 + C_2(x-1)^2 + \frac{x^4}{8} + \frac{x^3}{6} - \frac{3x^2}{2} + 3x + \frac{1}{3}. Найдем константы C_1 и C_2, используя начальные условия y(2) = 1 и y'(2) = 1. Подставим x = 2 в y: 1 = C_1 + C_2 \times 1 + \frac{16}{8} + \frac{8}{6} - \frac{12}{2} + 6 + \frac{1}{3}. 1 = C_1 + C_2 + 2 + \frac{4}{3} - 6 + 6 + \frac{1}{3}. 1 = C_1 + C_2 + 2 + \frac{5}{3}. C_1 + C_2 + \frac{11}{3} = 1. C_1 + C_2 = 1 - \frac{11}{3}. C_1 + C_2 = -\frac{8}{3}. (1) Теперь найдем производную y': y' = 2C_2(x-1) + \frac{4x^3}{8} + \frac{3x^2}{6} - \frac{6x}{2} + 3. y' = 2C_2(x-1) + \frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - 3x + 3. Подставим x = 2: 1 = 2C_2 \times 1 + \frac{8}{2} + \frac{4}{2} - 6 + 3. 1 = 2C_2 + 4 + 2 - 6 + 3. 1 = 2C_2 + 3. 2C_2 = -2. C_2 = -1. (2) Поставим C_2 = -1 в (1): C_1 - 1 = -\frac{8}{3}. C_1 = -\frac{8}{3} + 1. C_1 = -\frac{8}{3} + \frac{3}{3}. C_1 = -\frac{5}{3}. Таким образом, частное решение: y = -\frac{5}{3} - (x-1)^2 + \frac{x^4}{8} + \frac{x^3}{6} - \frac{3x^2}{2} + 3x + \frac{1}{3}. Или же: y = \frac{x^4}{8} + \frac{x^3}{6} - \frac{3x^2}{2} + 3x - \frac{5}{3} - (x^2 - 2x + 1) - \frac{5}{3}. С учетом сокращения получается: y = \frac{x^4}{8} + \frac{x^3}{6} - \frac{3x^2}{2} + 3x - x^2 + 2x - 1. Ответ b) соответствует данному решению.