Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, и вычислить y(2)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка)

Дано дифференциальное уравнение:

 x^3 y' + 2y^2 = 0 

Начальное условие:

 y(1) = 1 

Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, и вычислить y(2).

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Имеем:

 x^3 \frac{dy}{dx} + 2y^2 = 0 

Перенесем 2y^2 вправо:

 x^3 \frac{dy}{dx} = -2y^2 

Разделим обе части на x^3:

 \frac{dy}{dx} = -\frac{2y^2}{x^3} 

Теперь уравнение имеет вид, пригодный для разделения переменных.

Шаг 2: Разделим переменные

 \frac{dy}{y^2} = -\frac{2}{x^3} dx 

Шаг 3: Интегрируем обе части

Интеграл слева:

 \int \frac{dy}{y^2} = \int y^{-2} dy = -y^{-1} = -\frac{1}{y} 

Интеграл справа:

 \int -\frac{2}{x^3} dx = -2 \int x^{-3} dx = -2 \cdot \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) = \frac{1}{x^2} 

Итак, общее решение:

 -\frac{1}{y} = \frac{1}{x^2} + C 

Умножим обе части на -1:

 \frac{1}{y} = -\frac{1}{x^2} - C 

Шаг 4: Найдём константу C из начального условия

Подставим x = 1, y = 1:

 \frac{1}{1} = -\frac{1}{1^2} - C \Rightarrow 1 = -1 - C 

 C = -2 

Шаг 5: Подставим C в общее решение

 \frac{1}{y} = -\frac{1}{x^2} + 2 

Шаг 6: Выразим y и найдём y(2)

 y = \frac{1}{- \frac{1}{x^2} + 2} 

Подставим x = 2:

 y(2) = \frac{1}{- \frac{1}{4} + 2} = \frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7} 

Ответ:

Частное решение:

 y(x) = \frac{1}{- \frac{1}{x^2} + 2} 

Значение y(2) = \frac{4}{7}