Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Нам дано дифференциальное уравнение:
x'(t) + x(t) = 5\cos(2t), \, x(0) = 1.

Требуется найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию. Проверим, совпадает ли наш результат с предложенным ответом:
x(t) = \cos(2t) + 2\sin(2t).

Решение:

1. Общее решение линейного уравнения
   Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
   x'(t) + p(t)x(t) = f(t).
   Его общее решение состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение:
x'(t) + x(t) = 0.
Решение ищем в виде:
x(t) = Ce^{-t},
где C — произвольная постоянная.

Шаг 2. Поиск частного решения неоднородного уравнения

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения:
x'(t) + x(t) = 5\cos(2t),
предположим, что частное решение имеет вид:
x_p(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t),
где A и B — коэффициенты, которые нужно определить.

Подставим x_p(t) в уравнение:
x_p'(t) = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t).

Подставляем в уравнение:
(-2A\sin(2t) + 2B\cos(2t)) + (A\cos(2t) + B\sin(2t)) = 5\cos(2t).

Сгруппируем коэффициенты при \cos(2t) и \sin(2t):
(2B + A)\cos(2t) + (B - 2A)\sin(2t) = 5\cos(2t).

Получаем систему:
\begin{cases} 2B + A = 5, \ B - 2A = 0. \end{cases}

Решим систему:

1. Из второго уравнения:
   B = 2A.
2. Подставим во второе уравнение:
   2(2A) + A = 5 \implies 5A = 5 \implies A = 1.
3. Найдем B:
   B = 2A = 2.

Таким образом, частное решение:
x_p(t) = \cos(2t) + 2\sin(2t).

Шаг 3. Общее решение

Общее решение уравнения:
x(t) = x_h(t) + x_p(t) = Ce^{-t} + \cos(2t) + 2\sin(2t).

Шаг 4. Определение константы C

Используем начальное условие x(0) = 1:
1 = Ce^{0} + \cos(0) + 2\sin(0).
1 = C + 1 \implies C = 0.

Таким образом, частное решение:
x(t) = \cos(2t) + 2\sin(2t).

Проверка совпадения с предложенным ответом

Предложенный ответ: x(t) = \cos(2t) + 2\sin(2t).
Наше решение совпадает с предложенным.